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The.unbroken │ │ │ │ -00006590: 2068 656c 6978 2069 6e20 7468 6520 6578 helix in the ex │ │ │ │ -000065a0: 616d 706c 6520 2a6e 6f74 6520 4865 6c69 ample *note Heli │ │ │ │ -000065b0: 7820 7769 7468 2063 756c 6c20 7365 7420 x with cull set │ │ │ │ -000065c0: 6661 6c73 6520 7468 656e 0a74 7275 653a false then.true: │ │ │ │ -000065d0: 3a20 6973 2070 726f 6475 6365 6420 6279 : is produced by │ │ │ │ -000065e0: 2074 6869 7320 636f 6465 2028 706c 7573 this code (plus │ │ │ │ -000065f0: 2061 2073 7572 726f 756e 6469 6e67 2070 a surrounding p │ │ │ │ -00006600: 7574 2072 6f74 6174 696f 6e20 746f 206d ut rotation to m │ │ │ │ -00006610: 616b 650a 616e 2069 6e74 6572 6573 7469 ake.an interesti │ │ │ │ -00006620: 6e67 2076 6965 773b 2074 6869 7320 6861 ng view; this ha │ │ │ │ -00006630: 7320 6265 656e 206f 6d69 7474 6564 292e s been omitted). │ │ │ │ -00006640: 0a20 2064 6566 204b 205b 302c 302c 315d . def K [0,0,1] │ │ │ │ -00006650: 0a20 2073 7765 6570 5b63 756c 6c3d 6661 . sweep[cull=fa │ │ │ │ -00006660: 6c73 655d 207b 0a20 2020 2036 302c 200a lse] {. 60, . │ │ │ │ -00006670: 2020 2020 726f 7461 7465 2831 302c 2028 rotate(10, ( │ │ │ │ -00006680: 302c 302c 3029 2c20 5b4b 5d29 2074 6865 0,0,0), [K]) the │ │ │ │ -00006690: 6e20 7472 616e 736c 6174 6528 312f 3620 n translate(1/6 │ │ │ │ -000066a0: 2a20 5b4b 5d29 200a 2020 7d20 6c69 6e65 * [K]) . } line │ │ │ │ -000066b0: 5b6c 696e 6577 6964 7468 3d32 7074 5d28 [linewidth=2pt]( │ │ │ │ -000066c0: 2d31 2c30 2928 312c 3029 0a41 6761 696e -1,0)(1,0).Again │ │ │ │ -000066d0: 2c20 3630 2073 6567 6d65 6e74 7320 6f66 , 60 segments of │ │ │ │ -000066e0: 2074 6865 2068 656c 6978 2061 7265 2070 the helix are p │ │ │ │ -000066f0: 726f 6475 6365 6420 6279 2063 6f6e 6e65 roduced by conne │ │ │ │ -00006700: 6374 696e 6720 3631 2069 6e73 7461 6e63 cting 61 instanc │ │ │ │ -00006710: 6573 0a6f 6620 7468 6520 7377 6570 7420 es.of the swept │ │ │ │ -00006720: 6c69 6e65 2e20 204f 7074 696f 6e73 2061 line. 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A toroid is │ │ │ │ -00006990: 7468 6572 6566 6f72 6520 6f62 7461 696e therefore obtain │ │ │ │ -000069a0: 6564 2077 6974 6820 7468 6973 2063 6f64 ed with this cod │ │ │ │ -000069b0: 652e 0a20 2064 6566 206e 5f74 6f72 6f69 e.. def n_toroi │ │ │ │ -000069c0: 645f 7365 6773 2032 3020 2020 6465 6620 d_segs 20 def │ │ │ │ -000069d0: 6e5f 6369 7263 6c65 5f73 6567 7320 3136 n_circle_segs 16 │ │ │ │ -000069e0: 0a20 2064 6566 2072 5f6d 696e 6f72 2031 . def r_minor 1 │ │ │ │ -000069f0: 2020 2020 2020 2020 2020 6465 6620 725f def r_ │ │ │ │ -00006a00: 6d61 6a6f 7220 312e 350a 2020 7377 6565 major 1.5. swee │ │ │ │ -00006a10: 7020 7b20 6e5f 746f 726f 6964 5f73 6567 p { n_toroid_seg │ │ │ │ -00006a20: 732c 2072 6f74 6174 6528 3336 3020 2f20 s, rotate(360 / │ │ │ │ -00006a30: 6e5f 746f 726f 6964 5f73 6567 732c 205b n_toroid_segs, [ │ │ │ │ -00006a40: 302c 312c 305d 2920 7d0a 2020 2020 7377 0,1,0]) }. sw │ │ │ │ -00006a50: 6565 7020 7b20 6e5f 6369 7263 6c65 5f73 eep { n_circle_s │ │ │ │ -00006a60: 6567 732c 2072 6f74 6174 6528 3336 3020 egs, rotate(360 │ │ │ │ -00006a70: 2f20 6e5f 6369 7263 6c65 5f73 6567 732c / n_circle_segs, │ │ │ │ -00006a80: 2028 725f 6d61 6a6f 722c 302c 3029 2920 (r_major,0,0)) │ │ │ │ -00006a90: 7d20 0a20 2020 2020 2028 725f 6d61 6a6f } . (r_majo │ │ │ │ -00006aa0: 7220 2b20 725f 6d69 6e6f 722c 2030 290a r + r_minor, 0). │ │ │ │ -00006ab0: 2020 2046 6f72 2069 6e74 7569 7469 6f6e For intuition │ │ │ │ -00006ac0: 2c20 7468 6520 6964 6561 206f 6620 7468 , the idea of th │ │ │ │ -00006ad0: 6520 636f 6465 2069 7320 746f 2073 6b65 e code is to ske │ │ │ │ -00006ae0: 7463 6820 6120 6369 7263 6c65 2074 6f20 tch a circle to │ │ │ │ -00006af0: 7468 650a 7269 6768 7420 6f66 2074 6865 the.right of the │ │ │ │ -00006b00: 206f 7269 6769 6e20 696e 2074 6865 2078 origin in the x │ │ │ │ -00006b10: 792d 706c 616e 652c 2074 6865 6e20 726f y-plane, then ro │ │ │ │ -00006b20: 7461 7465 2074 6861 7420 6369 7263 6c65 tate that circle │ │ │ │ -00006b30: 2022 6f75 7420 6f66 2074 6865 0a70 6c61 "out of the.pla │ │ │ │ -00006b40: 6e65 2220 6162 6f75 7420 7468 6520 792d ne" about the y- │ │ │ │ -00006b50: 6178 6973 2074 6f20 6d61 6b65 2074 6865 axis to make the │ │ │ │ -00006b60: 2066 696e 616c 2066 6967 7572 652e 2020 final figure. │ │ │ │ -00006b70: 5468 6973 2070 726f 6475 6365 7320 7468 This produces th │ │ │ │ -00006b80: 650a 666f 6c6c 6f77 696e 672e 2020 2841 e.following. (A │ │ │ │ -00006b90: 2076 6965 7720 726f 7461 7469 6f6e 2061 view rotation a │ │ │ │ -00006ba0: 6e64 2073 6f6d 6520 6178 6573 2068 6176 nd some axes hav │ │ │ │ -00006bb0: 6520 6265 656e 2061 6464 6564 2e29 0a0a e been added.).. │ │ │ │ -00006bc0: 0008 5b69 6d61 6765 2073 7263 3d22 6578 ..[image src="ex │ │ │ │ -00006bd0: 3039 302e 706e 6722 2074 6578 743d 2249 090.png" text="I │ │ │ │ -00006be0: 6d61 6765 2065 7830 3930 206f 6d69 7474 mage ex090 omitt │ │ │ │ -00006bf0: 6564 2069 6e20 7465 7874 2076 6572 7369 ed in text versi │ │ │ │ -00006c00: 6f6e 206f 6620 7468 6973 2064 6f63 756d on of this docum │ │ │ │ -00006c10: 656e 742e 2200 085d 0a0a 2020 2054 6869 ent."..].. Thi │ │ │ │ -00006c20: 7320 6578 616d 706c 6520 616c 736f 2073 s example also s │ │ │ │ -00006c30: 686f 7773 2074 6861 7420 7468 6520 7377 hows that the sw │ │ │ │ -00006c40: 6570 7420 6f62 6a65 6374 206d 6179 2069 ept object may i │ │ │ │ -00006c50: 7473 656c 6620 6265 2061 6e6f 7468 6572 tself be another │ │ │ │ -00006c60: 0ae2 8098 7377 6565 70e2 8099 2e20 2049 ....sweep.... I │ │ │ │ -00006c70: 6e20 6661 6374 2c20 6974 206d 6179 2062 n fact, it may b │ │ │ │ -00006c80: 6520 5f61 6e79 5f20 e280 9873 6b65 7463 e _any_ ...sketc │ │ │ │ -00006c90: 68e2 8099 2065 7870 7265 7373 696f 6e20 h... expression │ │ │ │ -00006ca0: 7468 6174 2072 6573 756c 7473 2069 6e20 that results in │ │ │ │ -00006cb0: 610a 6c69 7374 206f 6620 6f6e 6520 6f72 a.list of one or │ │ │ │ -00006cc0: 206d 6f72 6520 706f 696e 7473 206f 722c more points or, │ │ │ │ -00006cd0: 2061 6c74 6572 6e61 7465 6c79 2c20 6120 alternately, a │ │ │ │ -00006ce0: 6c69 7374 206f 6620 6f6e 6520 6f72 206d list of one or m │ │ │ │ -00006cf0: 6f72 650a 706f 6c79 6c69 6e65 7320 616e ore.polylines an │ │ │ │ -00006d00: 6420 706f 6c79 676f 6e73 2e20 2054 6865 d polygons. The │ │ │ │ -00006d10: 206c 6174 7465 7220 6b69 6e64 206f 6620 latter kind of │ │ │ │ -00006d20: 6c69 7374 2063 616e 2062 6520 6372 6561 list can be crea │ │ │ │ -00006d30: 7465 6420 7769 7468 2061 0a7b 207d 2d65 ted with a.{ }-e │ │ │ │ -00006d40: 6e63 6c6f 7365 6420 626c 6f63 6b2c 2070 nclosed block, p │ │ │ │ -00006d50: 6572 6861 7073 2066 6f6c 6c6f 7769 6e67 erhaps following │ │ │ │ -00006d60: 2061 2070 7574 206f 7220 7265 7065 6174 a put or repeat │ │ │ │ -00006d70: 2e0a 0a1f 0a46 696c 653a 2073 6b65 7463 .....File: sketc │ │ │ │ -00006d80: 682e 696e 666f 2c20 204e 6f64 653a 2050 h.info, Node: P │ │ │ │ -00006d90: 6f6c 7967 6f6e 2073 7765 6570 732c 2020 olygon sweeps, │ │ │ │ -00006da0: 4e65 7874 3a20 506f 6c79 6c69 6e65 2073 Next: Polyline s │ │ │ │ -00006db0: 7765 6570 7320 7769 7468 2063 6c6f 7375 weeps with closu │ │ │ │ -00006dc0: 7265 2c20 2050 7265 763a 204e 6573 7465 re, Prev: Neste │ │ │ │ -00006dd0: 6420 7377 6565 7073 2c20 2055 703a 2053 d sweeps, Up: S │ │ │ │ -00006de0: 7765 7074 206f 626a 6563 7473 0a0a 322e wept objects..2. │ │ │ │ -00006df0: 372e 3420 506f 6c79 676f 6e20 7377 6565 7.4 Polygon swee │ │ │ │ -00006e00: 7073 0a2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d ps.------------- │ │ │ │ -00006e10: 2d2d 2d2d 2d2d 2d0a 0a53 7765 6570 696e -------..Sweepin │ │ │ │ -00006e20: 6720 6120 706f 6c79 676f 6e20 6372 6561 g a polygon crea │ │ │ │ -00006e30: 7465 7320 6120 636c 6f73 6564 2073 7572 tes a closed sur │ │ │ │ -00006e40: 6661 6365 2077 6974 6820 706f 6c79 676f face with polygo │ │ │ │ -00006e50: 6e73 2061 7420 7468 6520 656e 6473 2c0a ns at the ends,. │ │ │ │ -00006e60: 7768 6963 6820 6172 6520 6a75 7374 2063 which are just c │ │ │ │ -00006e70: 6f70 6965 7320 6f66 2074 6865 206f 7269 opies of the ori │ │ │ │ -00006e80: 6769 6e61 6c2c 2061 7070 726f 7072 6961 ginal, appropria │ │ │ │ -00006e90: 7465 6c79 2070 6f73 6974 696f 6e65 642e tely positioned. │ │ │ │ -00006ea0: 2020 2a4e 6f74 650a 536f 6c69 6420 636f *Note.Solid co │ │ │ │ -00006eb0: 696c 2065 7861 6d70 6c65 3a3a 2e20 204f il example::. O │ │ │ │ -00006ec0: 7074 696f 6e73 206f 6e20 7468 6520 7377 ptions on the sw │ │ │ │ -00006ed0: 6570 7420 706f 6c79 676f 6e2c 2069 6620 ept polygon, if │ │ │ │ -00006ee0: 7468 6579 2065 7869 7374 2c20 6172 650a they exist, are. │ │ │ │ -00006ef0: 6170 706c 6965 6420 746f 2074 6865 2065 applied to the e │ │ │ │ -00006f00: 6e64 732e 2020 4f74 6865 7277 6973 6520 nds. Otherwise │ │ │ │ -00006f10: 7468 6520 7377 6565 7020 6f70 7469 6f6e the sweep option │ │ │ │ -00006f20: 7320 6172 6520 7573 6564 2074 6872 6f75 s are used throu │ │ │ │ -00006f30: 6768 6f75 742e 0a0a 1f0a 4669 6c65 3a20 ghout.....File: │ │ │ │ -00006f40: 736b 6574 6368 2e69 6e66 6f2c 2020 4e6f sketch.info, No │ │ │ │ -00006f50: 6465 3a20 506f 6c79 6c69 6e65 2073 7765 de: Polyline swe │ │ │ │ -00006f60: 6570 7320 7769 7468 2063 6c6f 7375 7265 eps with closure │ │ │ │ -00006f70: 2c20 204e 6578 743a 2041 6666 696e 6520 , Next: Affine │ │ │ │ -00006f80: 6172 6974 686d 6574 6963 2c20 2050 7265 arithmetic, Pre │ │ │ │ -00006f90: 763a 2050 6f6c 7967 6f6e 2073 7765 6570 v: Polygon sweep │ │ │ │ -00006fa0: 732c 2020 5570 3a20 5377 6570 7420 6f62 s, Up: Swept ob │ │ │ │ -00006fb0: 6a65 6374 730a 0a32 2e37 2e35 2050 6f6c jects..2.7.5 Pol │ │ │ │ -00006fc0: 796c 696e 6520 7377 6565 7073 2077 6974 yline sweeps wit │ │ │ │ -00006fd0: 6820 636c 6f73 7572 650a 2d2d 2d2d 2d2d h closure.------ │ │ │ │ +00006540: 2d2d 2d2d 0a0a 5377 6565 7069 6e67 2061 ----..Sweeping a │ │ │ │ +00006550: 2070 6f6c 796c 696e 6520 7072 6f64 7563 polyline produc │ │ │ │ +00006560: 6573 2061 2073 7572 6661 6365 2063 6f6d es a surface com │ │ │ │ +00006570: 706f 7365 6420 6f66 206d 616e 7920 6661 posed of many fa │ │ │ │ +00006580: 6365 732e 2020 5468 650a 756e 6272 6f6b ces. The.unbrok │ │ │ │ +00006590: 656e 2068 656c 6978 2069 6e20 7468 6520 en helix in the │ │ │ │ +000065a0: 6578 616d 706c 6520 2a6e 6f74 6520 4865 example *note He │ │ │ │ +000065b0: 6c69 7820 7769 7468 2063 756c 6c20 7365 lix with cull se │ │ │ │ +000065c0: 7420 6661 6c73 6520 7468 656e 0a74 7275 t false then.tru │ │ │ │ +000065d0: 653a 3a20 6973 2070 726f 6475 6365 6420 e:: is produced │ │ │ │ +000065e0: 6279 2074 6869 7320 636f 6465 2028 706c by this code (pl │ │ │ │ +000065f0: 7573 2061 2073 7572 726f 756e 6469 6e67 us a surrounding │ │ │ │ +00006600: 2070 7574 2072 6f74 6174 696f 6e20 746f put rotation to │ │ │ │ +00006610: 206d 616b 650a 616e 2069 6e74 6572 6573 make.an interes │ │ │ │ +00006620: 7469 6e67 2076 6965 773b 2074 6869 7320 ting view; this │ │ │ │ +00006630: 6861 7320 6265 656e 206f 6d69 7474 6564 has been omitted │ │ │ │ +00006640: 292e 0a20 2064 6566 204b 205b 302c 302c ).. def K [0,0, │ │ │ │ +00006650: 315d 0a20 2073 7765 6570 5b63 756c 6c3d 1]. sweep[cull= │ │ │ │ +00006660: 6661 6c73 655d 207b 0a20 2020 2036 302c false] {. 60, │ │ │ │ +00006670: 200a 2020 2020 726f 7461 7465 2831 302c . rotate(10, │ │ │ │ +00006680: 2028 302c 302c 3029 2c20 5b4b 5d29 2074 (0,0,0), [K]) t │ │ │ │ +00006690: 6865 6e20 7472 616e 736c 6174 6528 312f hen translate(1/ │ │ │ │ +000066a0: 3620 2a20 5b4b 5d29 200a 2020 7d20 6c69 6 * [K]) . } li │ │ │ │ +000066b0: 6e65 5b6c 696e 6577 6964 7468 3d32 7074 ne[linewidth=2pt │ │ │ │ +000066c0: 5d28 2d31 2c30 2928 312c 3029 0a41 6761 ](-1,0)(1,0).Aga │ │ │ │ +000066d0: 696e 2c20 3630 2073 6567 6d65 6e74 7320 in, 60 segments │ │ │ │ +000066e0: 6f66 2074 6865 2068 656c 6978 2061 7265 of the helix are │ │ │ │ +000066f0: 2070 726f 6475 6365 6420 6279 2063 6f6e produced by con │ │ │ │ +00006700: 6e65 6374 696e 6720 3631 2069 6e73 7461 necting 61 insta │ │ │ │ +00006710: 6e63 6573 0a6f 6620 7468 6520 7377 6570 nces.of the swep │ │ │ │ +00006720: 7420 6c69 6e65 2e20 204f 7074 696f 6e73 t line. 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A toroid i │ │ │ │ +00006990: 7320 7468 6572 6566 6f72 6520 6f62 7461 s therefore obta │ │ │ │ +000069a0: 696e 6564 2077 6974 6820 7468 6973 2063 ined with this c │ │ │ │ +000069b0: 6f64 652e 0a20 2064 6566 206e 5f74 6f72 ode.. def n_tor │ │ │ │ +000069c0: 6f69 645f 7365 6773 2032 3020 2020 6465 oid_segs 20 de │ │ │ │ +000069d0: 6620 6e5f 6369 7263 6c65 5f73 6567 7320 f n_circle_segs │ │ │ │ +000069e0: 3136 0a20 2064 6566 2072 5f6d 696e 6f72 16. def r_minor │ │ │ │ +000069f0: 2031 2020 2020 2020 2020 2020 6465 6620 1 def │ │ │ │ +00006a00: 725f 6d61 6a6f 7220 312e 350a 2020 7377 r_major 1.5. sw │ │ │ │ +00006a10: 6565 7020 7b20 6e5f 746f 726f 6964 5f73 eep { n_toroid_s │ │ │ │ +00006a20: 6567 732c 2072 6f74 6174 6528 3336 3020 egs, rotate(360 │ │ │ │ +00006a30: 2f20 6e5f 746f 726f 6964 5f73 6567 732c / n_toroid_segs, │ │ │ │ +00006a40: 205b 302c 312c 305d 2920 7d0a 2020 2020 [0,1,0]) }. │ │ │ │ +00006a50: 7377 6565 7020 7b20 6e5f 6369 7263 6c65 sweep { n_circle │ │ │ │ +00006a60: 5f73 6567 732c 2072 6f74 6174 6528 3336 _segs, rotate(36 │ │ │ │ +00006a70: 3020 2f20 6e5f 6369 7263 6c65 5f73 6567 0 / n_circle_seg │ │ │ │ +00006a80: 732c 2028 725f 6d61 6a6f 722c 302c 3029 s, (r_major,0,0) │ │ │ │ +00006a90: 2920 7d20 0a20 2020 2020 2028 725f 6d61 ) } . 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Otherwis │ │ │ │ +00006f10: 6520 7468 6520 7377 6565 7020 6f70 7469 e the sweep opti │ │ │ │ +00006f20: 6f6e 7320 6172 6520 7573 6564 2074 6872 ons are used thr │ │ │ │ +00006f30: 6f75 6768 6f75 742e 0a0a 1f0a 4669 6c65 oughout.....File │ │ │ │ +00006f40: 3a20 736b 6574 6368 2e69 6e66 6f2c 2020 : sketch.info, │ │ │ │ +00006f50: 4e6f 6465 3a20 506f 6c79 6c69 6e65 2073 Node: Polyline s │ │ │ │ +00006f60: 7765 6570 7320 7769 7468 2063 6c6f 7375 weeps with closu │ │ │ │ +00006f70: 7265 2c20 204e 6578 743a 2041 6666 696e re, Next: Affin │ │ │ │ +00006f80: 6520 6172 6974 686d 6574 6963 2c20 2050 e arithmetic, P │ │ │ │ +00006f90: 7265 763a 2050 6f6c 7967 6f6e 2073 7765 rev: Polygon swe │ │ │ │ +00006fa0: 6570 732c 2020 5570 3a20 5377 6570 7420 eps, Up: Swept │ │ │ │ +00006fb0: 6f62 6a65 6374 730a 0a32 2e37 2e35 2050 objects..2.7.5 P │ │ │ │ +00006fc0: 6f6c 796c 696e 6520 7377 6565 7073 2077 olyline sweeps w │ │ │ │ +00006fd0: 6974 6820 636c 6f73 7572 650a 2d2d 2d2d ith closure.---- │ │ │ │ 00006fe0: 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d ---------------- │ │ │ │ -00006ff0: 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 0a0a 4120 ------------..A │ │ │ │ -00007000: 706f 6c79 6c69 6e65 2073 7765 6570 2077 polyline sweep w │ │ │ │ -00007010: 6974 6820 6120 636c 6f73 7572 6520 7461 ith a closure ta │ │ │ │ -00007020: 6720 6372 6561 7465 7320 616e 6f74 6865 g creates anothe │ │ │ │ -00007030: 7220 6b69 6e64 206f 6620 636c 6f73 6564 r kind of closed │ │ │ │ -00007040: 0a73 7572 6661 6365 2e20 2046 6972 7374 .surface. 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(unary n │ │ │ │ -0000b130: 6567 6174 696f 6e29 0ae2 8098 2ae2 8099 egation)....*... │ │ │ │ -0000b140: 0ae2 8098 2ee2 8099 0ae2 8098 2fe2 8099 ............/... │ │ │ │ -0000b150: 0ae2 8098 2be2 8099 0ae2 8098 2de2 8099 ....+.......-... │ │ │ │ -0000b160: 0ae2 8098 7468 656e e280 9920 2020 6c6f ....then... lo │ │ │ │ -0000b170: 7765 7374 2028 6c65 6173 7420 7469 6768 west (least tigh │ │ │ │ -0000b180: 746c 7920 6269 6e64 696e 6729 0a0a 416c tly binding)..Al │ │ │ │ -0000b190: 6c20 6f70 6572 6174 696f 6e73 2061 7265 l operations are │ │ │ │ -0000b1a0: 206c 6566 742d 6173 736f 6369 6174 6976 left-associativ │ │ │ │ -0000b1b0: 6520 6578 6365 7074 2066 6f72 20e2 8098 e except for ... │ │ │ │ -0000b1c0: 5ee2 8099 2e20 2050 6172 656e 7468 6573 ^.... Parenthes │ │ │ │ -0000b1d0: 6573 20e2 8098 2820 29e2 8099 0a61 7265 es ...( )....are │ │ │ │ -0000b1e0: 2075 7365 6420 666f 7220 6772 6f75 7069 used for groupi │ │ │ │ -0000b1f0: 6e67 2074 6f20 6f76 6572 7269 6465 2070 ng to override p │ │ │ │ -0000b200: 7265 6365 6465 6e63 6520 696e 2074 6865 recedence in the │ │ │ │ -0000b210: 2075 7375 616c 2077 6179 2e0a 0a20 2020 usual way... │ │ │ │ -0000b220: 4173 2079 6f75 2063 616e 2073 6565 2c20 As you can see, │ │ │ │ -0000b230: 7468 6520 646f 7420 6f70 6572 6174 6f72 the dot operator │ │ │ │ -0000b240: 20e2 8098 2ee2 8099 2069 7320 7573 7561 ....... is usua │ │ │ │ -0000b250: 6c6c 7920 6120 7379 6e6f 6e79 6d20 666f lly a synonym fo │ │ │ │ -0000b260: 720a 7275 6e2d 6f66 2d74 6865 2d6d 696c r.run-of-the-mil │ │ │ │ -0000b270: 6c20 6d75 6c74 6970 6c69 6361 7469 6f6e l multiplication │ │ │ │ -0000b280: 2c20 e280 982a e280 992e 2020 5468 6520 , ...*.... The │ │ │ │ -0000b290: 6d65 616e 696e 6773 2064 6966 6665 7220 meanings differ │ │ │ │ -0000b2a0: 6f6e 6c79 2066 6f72 0a76 6563 746f 7220 only for.vector │ │ │ │ -0000b2b0: 6f70 6572 616e 6473 2e20 2054 6865 20e2 operands. The . │ │ │ │ -0000b2c0: 8098 7468 656e e280 9920 6f70 6572 6174 ..then... operat │ │ │ │ -0000b2d0: 6f72 206d 6572 656c 7920 7265 7665 7273 or merely revers │ │ │ │ -0000b2e0: 6573 2074 6865 206f 7065 7261 6e64 206f es the operand o │ │ │ │ -0000b2f0: 7264 6572 0a77 6974 6820 7265 7370 6563 rder.with respec │ │ │ │ -0000b300: 7420 746f 206e 6f72 6d61 6c20 6d75 6c74 t to normal mult │ │ │ │ -0000b310: 6970 6c69 6361 7469 6f6e 20e2 8098 2ae2 iplication ...*. │ │ │ │ -0000b320: 8099 2e20 2054 6865 2069 6e74 656e 7420 ... The intent │ │ │ │ -0000b330: 6865 7265 2069 7320 746f 206d 616b 650a here is to make. │ │ │ │ -0000b340: 636f 6d70 6f73 6974 696f 6e73 2072 6561 compositions rea │ │ │ │ -0000b350: 6420 6d6f 7265 206e 6174 7572 616c 6c79 d more naturally │ │ │ │ -0000b360: 2e20 2054 6865 2063 6f64 650a 2020 2020 . The code. │ │ │ │ -0000b370: 2028 312c 322c 3329 2074 6865 6e20 7363 (1,2,3) then sc │ │ │ │ -0000b380: 616c 6528 3229 2074 6865 6e20 726f 7461 ale(2) then rota │ │ │ │ -0000b390: 7465 2833 3029 2074 6865 6e20 7472 616e te(30) then tran │ │ │ │ -0000b3a0: 736c 6174 6528 5b31 2c33 2c30 5d29 0a65 slate([1,3,0]).e │ │ │ │ -0000b3b0: 7870 7265 7373 6573 2061 2073 6572 6965 xpresses a serie │ │ │ │ -0000b3c0: 7320 6f66 2073 7563 6365 7373 6976 6520 s of successive │ │ │ │ -0000b3d0: 6d6f 6469 6669 6361 7469 6f6e 7320 746f modifications to │ │ │ │ -0000b3e0: 2074 6865 2070 6f69 6e74 2c20 7768 6572 the point, wher │ │ │ │ -0000b3f0: 6561 7320 7468 650a 6571 7569 7661 6c65 eas the.equivale │ │ │ │ -0000b400: 6e74 2066 6f72 6d0a 2020 2020 2074 7261 nt form. tra │ │ │ │ -0000b410: 6e73 6c61 7465 285b 312c 332c 305d 2920 nslate([1,3,0]) │ │ │ │ -0000b420: 2a20 726f 7461 7465 2833 3029 202a 2073 * rotate(30) * s │ │ │ │ -0000b430: 6361 6c65 2832 2920 2a20 2831 2c32 2c33 cale(2) * (1,2,3 │ │ │ │ -0000b440: 290a 7769 6c6c 2062 6520 696e 7475 6974 ).will be intuit │ │ │ │ -0000b450: 6976 6520 6f6e 6c79 2074 6f20 6d61 7468 ive only to math │ │ │ │ -0000b460: 656d 6174 6963 6961 6e73 2028 616e 6420 ematicians (and │ │ │ │ -0000b470: 7065 7268 6170 7320 4172 6162 6963 206c perhaps Arabic l │ │ │ │ -0000b480: 616e 6775 6167 650a 7265 6164 6572 7329 anguage.readers) │ │ │ │ -0000b490: 2e0a 0a1f 0a46 696c 653a 2073 6b65 7463 .....File: sketc │ │ │ │ -0000b4a0: 682e 696e 666f 2c20 204e 6f64 653a 2055 h.info, Node: U │ │ │ │ -0000b4b0: 6e61 7279 2066 6f72 6d73 2c20 2050 7265 nary forms, Pre │ │ │ │ -0000b4c0: 763a 2054 776f 2d6f 7065 7261 6e64 2028 v: Two-operand ( │ │ │ │ -0000b4d0: 6269 6e61 7279 2920 666f 726d 732c 2020 binary) forms, │ │ │ │ -0000b4e0: 5570 3a20 4172 6974 686d 6574 6963 0a0a Up: Arithmetic.. │ │ │ │ -0000b4f0: 332e 312e 342e 3220 556e 6172 7920 666f 3.1.4.2 Unary fo │ │ │ │ -0000b500: 726d 730a 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e rms............. │ │ │ │ -0000b510: 2e2e 2e2e 2e2e 2e0a 0a55 6e61 7279 206f .........Unary o │ │ │ │ -0000b520: 7220 6f6e 652d 6f70 6572 616e 6420 666f r one-operand fo │ │ │ │ -0000b530: 726d 7320 6172 6520 7375 6d6d 6172 697a rms are summariz │ │ │ │ -0000b540: 6564 2069 6e20 7468 6520 666f 6c6c 6f77 ed in the follow │ │ │ │ -0000b550: 696e 6720 7461 626c 652c 2077 6865 7265 ing table, where │ │ │ │ -0000b560: 0ae2 8098 58e2 8099 2073 7461 6e64 7320 ....X... stands │ │ │ │ -0000b570: 666f 7220 7468 6520 6f70 6572 616e 642e for the operand. │ │ │ │ -0000b580: 0a4f 7020 2020 2020 2020 2020 2020 2020 .Op │ │ │ │ -0000b590: 4f70 6572 616e 6420 2020 2020 5265 7375 Operand Resu │ │ │ │ -0000b5a0: 6c74 2020 2020 2020 4465 7363 7269 7074 lt Descript │ │ │ │ -0000b5b0: 696f 6e0a 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d ion.------------ │ │ │ │ +0000b0e0: 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 0ae2 8098 27e2 8099 --------....'... │ │ │ │ +0000b0f0: 2020 2020 2020 6869 6768 6573 7420 286d highest (m │ │ │ │ +0000b100: 6f73 7420 7469 6768 746c 7920 6269 6e64 ost tightly bind │ │ │ │ +0000b110: 696e 6729 0ae2 8098 5ee2 8099 0ae2 8098 ing)....^....... │ │ │ │ +0000b120: 2de2 8099 2020 2020 2020 2875 6e61 7279 -... (unary │ │ │ │ +0000b130: 206e 6567 6174 696f 6e29 0ae2 8098 2ae2 negation)....*. │ │ │ │ +0000b140: 8099 0ae2 8098 2ee2 8099 0ae2 8098 2fe2 ............../. │ │ │ │ +0000b150: 8099 0ae2 8098 2be2 8099 0ae2 8098 2de2 ......+.......-. │ │ │ │ +0000b160: 8099 0ae2 8098 7468 656e e280 9920 2020 ......then... │ │ │ │ +0000b170: 6c6f 7765 7374 2028 6c65 6173 7420 7469 lowest (least ti │ │ │ │ +0000b180: 6768 746c 7920 6269 6e64 696e 6729 0a0a ghtly binding).. │ │ │ │ +0000b190: 416c 6c20 6f70 6572 6174 696f 6e73 2061 All operations a │ │ │ │ +0000b1a0: 7265 206c 6566 742d 6173 736f 6369 6174 re left-associat │ │ │ │ +0000b1b0: 6976 6520 6578 6365 7074 2066 6f72 20e2 ive except for . │ │ │ │ +0000b1c0: 8098 5ee2 8099 2e20 2050 6172 656e 7468 ..^.... Parenth │ │ │ │ +0000b1d0: 6573 6573 20e2 8098 2820 29e2 8099 0a61 eses ...( )....a │ │ │ │ +0000b1e0: 7265 2075 7365 6420 666f 7220 6772 6f75 re used for grou │ │ │ │ +0000b1f0: 7069 6e67 2074 6f20 6f76 6572 7269 6465 ping to override │ │ │ │ +0000b200: 2070 7265 6365 6465 6e63 6520 696e 2074 precedence in t │ │ │ │ +0000b210: 6865 2075 7375 616c 2077 6179 2e0a 0a20 he usual way... │ │ │ │ +0000b220: 2020 4173 2079 6f75 2063 616e 2073 6565 As you can see │ │ │ │ +0000b230: 2c20 7468 6520 646f 7420 6f70 6572 6174 , the dot operat │ │ │ │ +0000b240: 6f72 20e2 8098 2ee2 8099 2069 7320 7573 or ....... is us │ │ │ │ +0000b250: 7561 6c6c 7920 6120 7379 6e6f 6e79 6d20 ually a synonym │ │ │ │ +0000b260: 666f 720a 7275 6e2d 6f66 2d74 6865 2d6d for.run-of-the-m │ │ │ │ +0000b270: 696c 6c20 6d75 6c74 6970 6c69 6361 7469 ill multiplicati │ │ │ │ +0000b280: 6f6e 2c20 e280 982a e280 992e 2020 5468 on, ...*.... Th │ │ │ │ +0000b290: 6520 6d65 616e 696e 6773 2064 6966 6665 e meanings diffe │ │ │ │ +0000b2a0: 7220 6f6e 6c79 2066 6f72 0a76 6563 746f r only for.vecto │ │ │ │ +0000b2b0: 7220 6f70 6572 616e 6473 2e20 2054 6865 r operands. The │ │ │ │ +0000b2c0: 20e2 8098 7468 656e e280 9920 6f70 6572 ...then... oper │ │ │ │ +0000b2d0: 6174 6f72 206d 6572 656c 7920 7265 7665 ator merely reve │ │ │ │ +0000b2e0: 7273 6573 2074 6865 206f 7065 7261 6e64 rses the operand │ │ │ │ +0000b2f0: 206f 7264 6572 0a77 6974 6820 7265 7370 order.with resp │ │ │ │ +0000b300: 6563 7420 746f 206e 6f72 6d61 6c20 6d75 ect to normal mu │ │ │ │ +0000b310: 6c74 6970 6c69 6361 7469 6f6e 20e2 8098 ltiplication ... │ │ │ │ +0000b320: 2ae2 8099 2e20 2054 6865 2069 6e74 656e *.... The inten │ │ │ │ +0000b330: 7420 6865 7265 2069 7320 746f 206d 616b t here is to mak │ │ │ │ +0000b340: 650a 636f 6d70 6f73 6974 696f 6e73 2072 e.compositions r │ │ │ │ +0000b350: 6561 6420 6d6f 7265 206e 6174 7572 616c ead more natural │ │ │ │ +0000b360: 6c79 2e20 2054 6865 2063 6f64 650a 2020 ly. The code. │ │ │ │ +0000b370: 2020 2028 312c 322c 3329 2074 6865 6e20 (1,2,3) then │ │ │ │ +0000b380: 7363 616c 6528 3229 2074 6865 6e20 726f scale(2) then ro │ │ │ │ +0000b390: 7461 7465 2833 3029 2074 6865 6e20 7472 tate(30) then tr │ │ │ │ +0000b3a0: 616e 736c 6174 6528 5b31 2c33 2c30 5d29 anslate([1,3,0]) │ │ │ │ +0000b3b0: 0a65 7870 7265 7373 6573 2061 2073 6572 .expresses a ser │ │ │ │ +0000b3c0: 6965 7320 6f66 2073 7563 6365 7373 6976 ies of successiv │ │ │ │ +0000b3d0: 6520 6d6f 6469 6669 6361 7469 6f6e 7320 e modifications │ │ │ │ +0000b3e0: 746f 2074 6865 2070 6f69 6e74 2c20 7768 to the point, wh │ │ │ │ +0000b3f0: 6572 6561 7320 7468 650a 6571 7569 7661 ereas the.equiva │ │ │ │ +0000b400: 6c65 6e74 2066 6f72 6d0a 2020 2020 2074 lent form. t │ │ │ │ +0000b410: 7261 6e73 6c61 7465 285b 312c 332c 305d ranslate([1,3,0] │ │ │ │ +0000b420: 2920 2a20 726f 7461 7465 2833 3029 202a ) * rotate(30) * │ │ │ │ +0000b430: 2073 6361 6c65 2832 2920 2a20 2831 2c32 scale(2) * (1,2 │ │ │ │ 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Opt │ │ │ │ -0000f7b0: 696f 6e73 206f 6620 7468 6520 e280 9873 ions of the ...s │ │ │ │ -0000f7c0: 7765 6570 e280 9920 6172 6520 636f 7069 weep... are copi │ │ │ │ -0000f7d0: 6564 2064 6972 6563 746c 7920 746f 2074 ed directly to t │ │ │ │ -0000f7e0: 6865 2072 6573 756c 7469 6e67 0a70 6f6c he resulting.pol │ │ │ │ -0000f7f0: 796c 696e 6528 7329 2e0a 0a1f 0a46 696c yline(s).....Fil │ │ │ │ -0000f800: 653a 2073 6b65 7463 682e 696e 666f 2c20 e: sketch.info, │ │ │ │ -0000f810: 204e 6f64 653a 2053 7765 7074 206c 696e Node: Swept lin │ │ │ │ -0000f820: 6573 2c20 204e 6578 743a 2053 7765 7074 es, Next: Swept │ │ │ │ -0000f830: 2070 6f6c 7967 6f6e 732c 2020 5072 6576 polygons, Prev │ │ │ │ -0000f840: 3a20 5377 6570 7420 706f 696e 7473 2c20 : Swept points, │ │ │ │ -0000f850: 2055 703a 2053 7765 6570 730a 0a33 2e32 Up: Sweeps..3.2 │ │ │ │ -0000f860: 2e36 2e32 2053 7765 7074 206c 696e 6573 .6.2 Swept lines │ │ │ │ -0000f870: 0a2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e ................ │ │ │ │ -0000f880: 2e2e 2e2e 0a0a 4966 2053 5745 5054 5f4f ......If SWEPT_O │ │ │ │ -0000f890: 424a 4543 5420 6973 2061 2070 6f6c 796c BJECT is a polyl │ │ │ │ -0000f8a0: 696e 6520 616e 6420 7468 6572 6520 6973 ine and there is │ │ │ │ -0000f8b0: 206e 6f20 636c 6f73 7572 6520 7461 672c no closure tag, │ │ │ │ -0000f8c0: 2074 6865 6e20 e280 9873 7765 6570 e280 then ...sweep.. │ │ │ │ -0000f8d0: 990a 636f 6e6e 6563 7473 204e 2b31 2073 ..connects N+1 s │ │ │ │ -0000f8e0: 7563 6365 7373 6976 6520 636f 7069 6573 uccessive copies │ │ │ │ -0000f8f0: 206f 6620 7468 6520 706f 6c79 6c69 6e65 of the polyline │ │ │ │ -0000f900: 2028 696e 636c 7564 696e 6720 7468 6520 (including the │ │ │ │ -0000f910: 6f72 6967 696e 616c 290a 7769 7468 2066 original).with f │ │ │ │ -0000f920: 6f75 722d 7369 6465 6420 706f 6c79 676f our-sided polygo │ │ │ │ -0000f930: 6e73 2c20 6561 6368 2070 6169 7220 6f66 ns, each pair of │ │ │ │ -0000f940: 2063 6f70 6965 7320 6769 7669 6e67 2072 copies giving r │ │ │ │ -0000f950: 6973 6520 746f 2061 2022 706f 6c79 676f ise to a "polygo │ │ │ │ -0000f960: 6e0a 7374 7269 702e 2220 2049 6620 7468 n.strip." 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If the.point │ │ │ │ -0000fb30: 7320 696e 2074 6865 206b 2774 6820 636f s in the k'th co │ │ │ │ -0000fb40: 7079 206f 6620 7468 6520 706f 6c79 6c69 py of the polyli │ │ │ │ -0000fb50: 6e65 2061 7265 2050 5f31 2c20 505f 322c ne are P_1, P_2, │ │ │ │ -0000fb60: 202e 2e2e 2c20 505f 6d2c 2061 6e64 2074 ..., P_m, and t │ │ │ │ -0000fb70: 6865 0a70 6f69 6e74 7320 696e 2074 6865 he.points in the │ │ │ │ -0000fb80: 206e 6578 7420 636f 7079 2c20 7468 6520 next copy, the │ │ │ │ -0000fb90: 286b 2b31 2973 742c 2061 7265 2050 5f31 (k+1)st, are P_1 │ │ │ │ -0000fba0: 272c 2050 5f32 272c 202e 2e2e 2c20 505f ', P_2', ..., P_ │ │ │ │ -0000fbb0: 6d27 2c20 7468 656e 0a74 6865 2076 6572 m', then.the ver │ │ │ │ -0000fbc0: 7465 7820 6f72 6465 7220 6f66 2074 6865 tex order of the │ │ │ │ -0000fbd0: 2067 656e 6572 6174 6564 2070 6f6c 7967 generated polyg │ │ │ │ -0000fbe0: 6f6e 7320 6973 0a20 2020 2020 426f 6479 ons is. 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Finally, the │ │ │ │ -0000fe30: 2073 7765 6570 2061 6464 7320 7477 6f20 sweep adds two │ │ │ │ -0000fe40: 6d6f 7265 2070 6f6c 7967 6f6e 7320 746f more polygons to │ │ │ │ -0000fe50: 2073 6561 6c20 7468 6520 686f 6c65 7320 seal the holes │ │ │ │ -0000fe60: 616e 6420 666f 726d 0a61 2063 6c6f 7365 and form.a close │ │ │ │ -0000fe70: 6420 7375 7266 6163 6520 7468 6174 2c20 d surface that, │ │ │ │ -0000fe80: 6465 7065 6e64 696e 6720 6f6e 2074 6865 depending on the │ │ │ │ -0000fe90: 2073 7765 6570 2074 7261 6e73 666f 726d sweep transform │ │ │ │ -0000fea0: 732c 206d 6179 2072 6570 7265 7365 6e74 s, may represent │ │ │ │ -0000feb0: 0a74 6865 2062 6f75 6e64 6172 7920 6f66 .the boundary of │ │ │ │ -0000fec0: 2061 2073 6f6c 6964 2e20 2049 6e20 7468 a solid. In th │ │ │ │ -0000fed0: 6973 206d 616e 6e65 722c 20e2 8098 7377 is manner, ...sw │ │ │ │ -0000fee0: 6565 70e2 8099 2066 6f72 6d73 2074 6865 eep... forms the │ │ │ │ -0000fef0: 2062 6f75 6e64 6172 7920 6f66 0a61 2074 boundary of.a t │ │ │ │ -0000ff00: 6872 6565 2d64 696d 656e 7369 6f6e 616c hree-dimensional │ │ │ │ -0000ff10: 206f 626a 6563 7420 6672 6f6d 2061 206f object from a o │ │ │ │ -0000ff20: 6e65 2d64 696d 656e 7369 6f6e 616c 2070 ne-dimensional p │ │ │ │ -0000ff30: 6f6c 796c 696e 652e 2020 5765 2063 616c olyline. We cal │ │ │ │ -0000ff40: 6c0a 7468 6573 6520 686f 6c65 2d66 696c l.these hole-fil │ │ │ │ -0000ff50: 6c69 6e67 2070 6f6c 7967 6f6e 7320 e280 ling polygons .. │ │ │ │ -0000ff60: 9c65 6e64 73e2 809d 2e0a 0a20 2020 5468 .ends...... Th │ │ │ │ -0000ff70: 6520 6f72 6465 7220 6f66 2076 6572 7469 e order of verti │ │ │ │ -0000ff80: 6365 7320 6f66 2065 6e64 2070 6f6c 7967 ces of end polyg │ │ │ │ -0000ff90: 6f6e 7320 6973 2069 6d70 6f72 7461 6e74 ons is important │ │ │ │ -0000ffa0: 2066 6f72 2063 6f72 7265 6374 0a63 756c for correct.cul │ │ │ │ -0000ffb0: 6c69 6e67 2061 7320 6465 7363 7269 6265 ling as describe │ │ │ │ -0000ffc0: 6420 6162 6f76 652e 2020 4966 2050 5f31 d above. If P_1 │ │ │ │ -0000ffd0: 5e31 2c20 505f 315e 322c 202e 2e2e 2c20 ^1, P_1^2, ..., │ │ │ │ -0000ffe0: 505f 315e 6e20 6172 6520 7468 6520 4e0a P_1^n are the N. │ │ │ │ -0000fff0: 636f 7069 6573 206f 6620 7468 6520 6669 copies of the fi │ │ │ │ -00010000: 7273 7420 706f 6c79 6c69 6e65 2070 6f69 rst polyline poi │ │ │ │ -00010010: 6e74 2061 6e64 2050 5f6d 5e31 2c20 505f nt and P_m^1, P_ │ │ │ │ -00010020: 6d5e 322c 202e 2e2e 202c 505f 6d5e 6e20 m^2, ... ,P_m^n │ │ │ │ -00010030: 6172 6520 7468 650a 4e20 636f 7069 6573 are the.N copies │ │ │ │ -00010040: 206f 6620 7468 6520 6c61 7374 2070 6f6c of the last pol │ │ │ │ -00010050: 796c 696e 6520 706f 696e 742c 2074 6865 yline point, the │ │ │ │ -00010060: 6e20 7468 6520 656e 6420 706f 6c79 676f n the end polygo │ │ │ │ -00010070: 6e20 7665 7274 6578 206f 7264 6572 0a69 n vertex order.i │ │ │ │ -00010080: 730a 2020 2020 2045 6e64 2070 6f6c 7967 s. End polyg │ │ │ │ -00010090: 6f6e 2031 3a20 505f 315e 6e2c 2050 5f31 on 1: P_1^n, P_1 │ │ │ │ -000100a0: 5e7b 6e2d 317d 2c20 2e2e 2e20 2c50 5f31 ^{n-1}, ... ,P_1 │ │ │ │ -000100b0: 5e31 0a20 2020 2020 456e 6420 706f 6c79 ^1. End poly │ │ │ │ -000100c0: 676f 6e20 323a 2050 5f6d 5e31 2c20 505f gon 2: P_m^1, P_ │ │ │ │ -000100d0: 6d5e 322c 202e 2e2e 202c 505f 6d5e 6e0a m^2, ... ,P_m^n. │ │ │ │ -000100e0: 0a20 2020 4966 2074 6865 7265 2061 7265 . If there are │ │ │ │ -000100f0: 206e 6f20 6f70 7469 6f6e 7320 6f6e 2074 no options on t │ │ │ │ -00010100: 6865 2073 7765 7074 206c 696e 652c 2074 he swept line, t │ │ │ │ -00010110: 6865 6e20 7468 6520 e280 9873 7765 6570 hen the ...sweep │ │ │ │ -00010120: e280 9920 6f70 7469 6f6e 730a 6172 6520 ... options.are │ │ │ │ -00010130: 636f 7069 6564 2074 6f20 6561 6368 206f copied to each o │ │ │ │ -00010140: 7574 7075 7420 706f 6c79 676f 6e2e 2020 utput polygon. │ │ │ │ -00010150: 4966 2074 6865 2073 7765 7074 206c 696e If the swept lin │ │ │ │ -00010160: 6520 646f 6573 2068 6176 6520 6f70 7469 e does have opti │ │ │ │ -00010170: 6f6e 732c 0a74 6865 7365 2061 7265 2063 ons,.these are c │ │ │ │ -00010180: 6f70 6965 6420 746f 2063 6f72 7265 7370 opied to corresp │ │ │ │ -00010190: 6f6e 6469 6e67 2062 6f64 7920 706f 6c79 onding body poly │ │ │ │ -000101a0: 676f 6e73 3b20 7468 6520 7377 6565 7020 gons; the sweep │ │ │ │ -000101b0: 6f70 7469 6f6e 7320 6172 650a 636f 7069 options are.copi │ │ │ │ -000101c0: 6564 2074 6f20 7468 6520 656e 6420 706f ed to the end po │ │ │ │ -000101d0: 6c79 676f 6e73 2e20 2049 6e20 7468 6973 lygons. In this │ │ │ │ -000101e0: 206d 616e 6e65 722c 2062 6f64 7920 616e manner, body an │ │ │ │ -000101f0: 6420 656e 6473 206d 6179 2062 6520 6472 d ends may be dr │ │ │ │ -00010200: 6177 6e0a 7769 7468 2064 6966 6665 7265 awn.with differe │ │ │ │ -00010210: 6e74 2063 6861 7261 6374 6572 6973 7469 nt characteristi │ │ │ │ -00010220: 6373 2073 7563 6820 6173 20e2 8098 6669 cs such as ...fi │ │ │ │ -00010230: 6c6c 636f 6c6f 72e2 8099 2e0a 0a1f 0a46 llcolor........F │ │ │ │ -00010240: 696c 653a 2073 6b65 7463 682e 696e 666f ile: sketch.info │ │ │ │ -00010250: 2c20 204e 6f64 653a 2053 7765 7074 2070 , Node: Swept p │ │ │ │ -00010260: 6f6c 7967 6f6e 732c 2020 4e65 7874 3a20 olygons, Next: │ │ │ │ -00010270: 5377 6570 7420 626c 6f63 6b73 2c20 2050 Swept blocks, P │ │ │ │ -00010280: 7265 763a 2053 7765 7074 206c 696e 6573 rev: Swept lines │ │ │ │ -00010290: 2c20 2055 703a 2053 7765 6570 730a 0a33 , Up: Sweeps..3 │ │ │ │ -000102a0: 2e32 2e36 2e33 2053 7765 7074 2070 6f6c .2.6.3 Swept pol │ │ │ │ -000102b0: 7967 6f6e 730a 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e ygons........... │ │ │ │ -000102c0: 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 0a0a 4966 ..............If │ │ │ │ -000102d0: 2053 5745 5054 5f4f 424a 4543 5420 6973 SWEPT_OBJECT is │ │ │ │ -000102e0: 2061 2070 6f6c 7967 6f6e 2c20 7468 6520 a polygon, the │ │ │ │ -000102f0: e280 9873 7765 6570 e280 9920 636f 6e6e ...sweep... conn │ │ │ │ -00010300: 6563 7473 204e 2b31 2073 7563 6365 7373 ects N+1 success │ │ │ │ -00010310: 6976 6520 636f 7069 6573 0a6f 6620 7468 ive copies.of th │ │ │ │ -00010320: 6520 636c 6f73 6564 2070 6f6c 796c 696e e closed polylin │ │ │ │ -00010330: 6520 626f 7264 6572 206f 6620 7468 6520 e border of the │ │ │ │ -00010340: 706f 6c79 676f 6e20 746f 2066 6f72 6d20 polygon to form │ │ │ │ -00010350: 626f 6479 2070 6f6c 7967 6f6e 730a 6578 body polygons.ex │ │ │ │ -00010360: 6163 746c 7920 6173 2074 686f 7567 6820 actly as though │ │ │ │ -00010370: 7468 6520 626f 7264 6572 2077 6572 6520 the border were │ │ │ │ -00010380: 6120 7377 6570 7420 706f 6c79 6c69 6e65 a swept polyline │ │ │ │ -00010390: 2061 7320 6465 7363 7269 6265 6420 696e as described in │ │ │ │ -000103a0: 202a 6e6f 7465 0a53 7765 7074 206c 696e *note.Swept lin │ │ │ │ -000103b0: 6573 3a3a 2e20 2049 6620 7468 6572 6520 es::. If there │ │ │ │ -000103c0: 6172 6520 6d20 706f 696e 7473 2069 6e20 are m points in │ │ │ │ -000103d0: 7468 6520 6f72 6967 696e 616c 2070 6f6c the original pol │ │ │ │ -000103e0: 7967 6f6e 2c20 7468 656e 206d 4e0a 626f ygon, then mN.bo │ │ │ │ -000103f0: 6479 2070 6f6c 7967 6f6e 7320 6172 6520 dy polygons are │ │ │ │ -00010400: 666f 726d 6564 2062 7920 7468 6973 2073 formed by this s │ │ │ │ -00010410: 7765 6570 2e20 2054 6865 2062 6f64 7920 weep. The body │ │ │ │ -00010420: 706f 6c79 676f 6e73 2066 6f72 6d20 616e polygons form an │ │ │ │ -00010430: 0ae2 809c 6578 7472 7573 696f 6ee2 809d ....extrusion... │ │ │ │ -00010440: 206f 6620 7468 6520 626f 756e 6461 7279 of the boundary │ │ │ │ -00010450: 206f 6620 7468 6520 6f72 6967 696e 616c of the original │ │ │ │ -00010460: 2070 6f6c 7967 6f6e 2077 6974 6820 7477 polygon with tw │ │ │ │ -00010470: 6f20 686f 6c65 7320 6174 0a74 6865 206f o holes at.the o │ │ │ │ -00010480: 7065 6e20 656e 6473 2e0a 0a20 2020 4669 pen ends... Fi │ │ │ │ -00010490: 6e61 6c6c 792c 2074 6865 2073 7765 6570 nally, the sweep │ │ │ │ -000104a0: 2061 6464 7320 7477 6f20 636f 7069 6573 adds two copies │ │ │ │ -000104b0: 206f 6620 7468 6520 6f72 6967 696e 616c of the original │ │ │ │ -000104c0: 2070 6f6c 7967 6f6e 2074 6f20 636f 7665 polygon to cove │ │ │ │ -000104d0: 720a 7468 6520 686f 6c65 732e 2020 5765 r.the holes. We │ │ │ │ -000104e0: 2063 616c 6c20 7468 6573 6520 686f 6c65 call these hole │ │ │ │ -000104f0: 2d66 696c 6c69 6e67 2070 6f6c 7967 6f6e -filling polygon │ │ │ │ -00010500: 7320 e280 9c65 6e64 73e2 809d 2e20 2049 s ...ends.... I │ │ │ │ -00010510: 6e20 7468 6973 206d 616e 6e65 722c 0ae2 n this manner,.. │ │ │ │ -00010520: 8098 7377 6565 70e2 8099 2066 6f72 6d73 ..sweep... forms │ │ │ │ -00010530: 2074 6865 2062 6f75 6e64 6172 7920 6f66 the boundary of │ │ │ │ -00010540: 2061 2074 6872 6565 2d64 696d 656e 7369 a three-dimensi │ │ │ │ -00010550: 6f6e 616c 206f 626a 6563 7420 6672 6f6d onal object from │ │ │ │ -00010560: 2061 0a74 776f 2d64 696d 656e 7369 6f6e a.two-dimension │ │ │ │ -00010570: 616c 2070 6f6c 7967 6f6e 2e0a 0a20 2020 al polygon... │ │ │ │ -00010580: 5468 6520 6f72 6465 7220 6f66 2076 6572 The order of ver │ │ │ │ -00010590: 7469 6365 7320 6f66 2065 6e64 2070 6f6c tices of end pol │ │ │ │ -000105a0: 7967 6f6e 7320 6973 2069 6d70 6f72 7461 ygons is importa │ │ │ │ -000105b0: 6e74 2066 6f72 2063 6f72 7265 6374 0a63 nt for correct.c │ │ │ │ -000105c0: 756c 6c69 6e67 2061 7320 6465 7363 7269 ulling as descri │ │ │ │ -000105d0: 6265 6420 6162 6f76 652e 2020 416e 2065 bed above. An e │ │ │ │ -000105e0: 7861 6374 2063 6f70 7920 6f66 2074 6865 xact copy of the │ │ │ │ -000105f0: 206f 7269 6769 6e61 6c20 706f 6c79 676f original polygo │ │ │ │ -00010600: 6e20 7769 7468 0a76 6572 7465 7820 6f72 n with.vertex or │ │ │ │ -00010610: 6465 7220 696e 7461 6374 2066 6f72 6d73 der intact forms │ │ │ │ -00010620: 2074 6865 2066 6972 7374 2065 6e64 2070 the first end p │ │ │ │ -00010630: 6f6c 7967 6f6e 2e20 2054 6865 206f 7468 olygon. The oth │ │ │ │ -00010640: 6572 2065 6e64 2070 6f6c 7967 6f6e 0a72 er end polygon.r │ │ │ │ -00010650: 6573 756c 7473 2066 726f 6d20 7472 616e esults from tran │ │ │ │ -00010660: 7366 6f72 6d69 6e67 2061 6e64 2074 6865 sforming and the │ │ │ │ -00010670: 2072 6576 6572 7369 6e67 2074 6865 206f reversing the o │ │ │ │ -00010680: 7264 6572 206f 6620 7665 7274 6963 6573 rder of vertices │ │ │ │ -00010690: 2069 6e20 7468 650a 6f72 6967 696e 616c in the.original │ │ │ │ -000106a0: 2e20 2054 6865 2074 7261 6e73 666f 726d . The transform │ │ │ │ -000106b0: 2070 6c61 6365 7320 7468 6520 6f72 6967 places the orig │ │ │ │ -000106c0: 696e 616c 2070 6f6c 7967 6f6e 2061 7420 inal polygon at │ │ │ │ -000106d0: 7468 6520 756e 636f 7665 7265 640a 686f the uncovered.ho │ │ │ │ -000106e0: 6c65 3b20 6974 2069 730a 2020 2020 2054 le; it is. T │ │ │ │ -000106f0: 5f31 5e6e 2074 6865 6e20 545f 325e 6e20 _1^n then T_2^n │ │ │ │ -00010700: 7468 656e 202e 2e2e 2074 6865 6e20 545f then ... then T_ │ │ │ │ -00010710: 525e 6e2e 0a49 6620 7468 6572 6520 6172 R^n..If there ar │ │ │ │ -00010720: 6520 6e6f 206f 7074 696f 6e73 206f 6e20 e no options on │ │ │ │ -00010730: 7468 6520 7377 6570 7420 706f 6c79 676f the swept polygo │ │ │ │ -00010740: 6e2c 2074 6865 6e20 7468 6520 e280 9873 n, then the ...s │ │ │ │ -00010750: 7765 6570 e280 9920 6f70 7469 6f6e 730a weep... options. │ │ │ │ -00010760: 6172 6520 636f 7069 6564 2074 6f20 6561 are copied to ea │ │ │ │ -00010770: 6368 206f 7574 7075 7420 706f 6c79 676f ch output polygo │ │ │ │ -00010780: 6e2e 2020 4966 2074 6865 2073 7765 7074 n. If the swept │ │ │ │ -00010790: 2070 6f6c 7967 6f6e 2064 6f65 7320 6861 polygon does ha │ │ │ │ -000107a0: 7665 0a6f 7074 696f 6e73 2c20 7468 6573 ve.options, thes │ │ │ │ -000107b0: 6520 6172 6520 636f 7069 6564 2074 6f20 e are copied to │ │ │ │ -000107c0: 7468 6520 656e 6473 3b20 7468 6520 7377 the ends; the sw │ │ │ │ -000107d0: 6565 7020 6f70 7469 6f6e 7320 6172 6520 eep options are │ │ │ │ -000107e0: 636f 7069 6564 2074 6f0a 7468 6520 626f copied to.the bo │ │ │ │ -000107f0: 6479 2070 6f6c 7967 6f6e 732e 2020 496e dy polygons. In │ │ │ │ -00010800: 2074 6869 7320 6d61 6e6e 6572 2c20 626f this manner, bo │ │ │ │ -00010810: 6479 2061 6e64 2065 6e64 7320 6d61 7920 dy and ends may │ │ │ │ -00010820: 6265 2064 7261 776e 2077 6974 680a 6469 be drawn with.di │ │ │ │ -00010830: 6666 6572 656e 7420 6368 6172 6163 7465 fferent characte │ │ │ │ -00010840: 7269 7374 6963 7320 7375 6368 2061 7320 ristics such as │ │ │ │ -00010850: e280 9866 696c 6c63 6f6c 6f72 e280 992e ...fillcolor.... │ │ │ │ -00010860: 0a0a 1f0a 4669 6c65 3a20 736b 6574 6368 ....File: sketch │ │ │ │ -00010870: 2e69 6e66 6f2c 2020 4e6f 6465 3a20 5377 .info, Node: Sw │ │ │ │ -00010880: 6570 7420 626c 6f63 6b73 2c20 204e 6578 ept blocks, Nex │ │ │ │ -00010890: 743a 2053 7765 6570 2066 6163 6520 7370 t: Sweep face sp │ │ │ │ -000108a0: 6c69 7474 696e 672c 2020 5072 6576 3a20 litting, Prev: │ │ │ │ -000108b0: 5377 6570 7420 706f 6c79 676f 6e73 2c20 Swept polygons, │ │ │ │ -000108c0: 2055 703a 2053 7765 6570 730a 0a33 2e32 Up: Sweeps..3.2 │ │ │ │ -000108d0: 2e36 2e34 2053 7765 7074 2062 6c6f 636b .6.4 Swept block │ │ │ │ -000108e0: 730a 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e s............... │ │ │ │ -000108f0: 2e2e 2e2e 2e2e 0a0a 5468 6520 7377 6570 ........The swep │ │ │ │ -00010900: 7420 6f62 6a65 6374 2053 5745 5054 5f4f t object SWEPT_O │ │ │ │ -00010910: 424a 4543 5420 6d61 7920 616c 736f 2062 BJECT may also b │ │ │ │ -00010920: 6520 616e 7920 636f 6c6c 6563 7469 6f6e e any collection │ │ │ │ -00010930: 206f 6620 706f 6c79 6c69 6e65 730a 616e of polylines.an │ │ │ │ -00010940: 6420 706f 6c79 676f 6e73 2e20 2054 6869 d polygons. Thi │ │ │ │ -00010950: 7320 6d61 7920 6265 2061 2062 6c6f 636b s may be a block │ │ │ │ -00010960: 2063 6f6d 706f 7365 6420 6f66 20e2 8098 composed of ... │ │ │ │ -00010970: 6c69 6e65 e280 9920 616e 642f 6f72 20e2 line... and/or . │ │ │ │ -00010980: 8098 706f 6c79 676f 6ee2 8099 0a63 6f6d ..polygon....com │ │ │ │ -00010990: 6d61 6e64 7320 696e 2062 7261 6365 7320 mands in braces │ │ │ │ -000109a0: e280 987b 207d e280 992c 206f 7220 6974 ...{ }..., or it │ │ │ │ -000109b0: 206d 6179 2062 6520 7468 6520 7265 7375 may be the resu │ │ │ │ -000109c0: 6c74 206f 6620 6120 e280 9872 6570 6561 lt of a ...repea │ │ │ │ -000109d0: 74e2 8099 2c20 616e 6f74 6865 720a e280 t..., another... │ │ │ │ -000109e0: 9873 7765 6570 e280 992c 2065 7463 2e20 .sweep..., etc. │ │ │ │ -000109f0: 2054 6865 2073 7765 6570 2061 6374 7320 The sweep acts │ │ │ │ -00010a00: 696e 6465 7065 6e64 656e 746c 7920 6f6e independently on │ │ │ │ -00010a10: 2065 6163 6820 6f62 6a65 6374 2069 6e20 each object in │ │ │ │ -00010a20: 7468 6520 626c 6f63 6b0a 6578 6163 746c the block.exactl │ │ │ │ -00010a30: 7920 6173 2069 6620 6974 2077 6572 6520 y as if it were │ │ │ │ -00010a40: 6120 7369 6e67 6c65 2073 7765 7074 206f a single swept o │ │ │ │ -00010a50: 626a 6563 7420 6465 7363 7269 6265 6420 bject described │ │ │ │ -00010a60: 6162 6f76 6520 696e 202a 6e6f 7465 0a53 above in *note.S │ │ │ │ -00010a70: 7765 7074 206c 696e 6573 3a3a 2061 6e64 wept lines:: and │ │ │ │ -00010a80: 202a 6e6f 7465 2053 7765 7074 2070 6f6c *note Swept pol │ │ │ │ -00010a90: 7967 6f6e 733a 3a2e 0a0a 1f0a 4669 6c65 ygons::.....File │ │ │ │ -00010aa0: 3a20 736b 6574 6368 2e69 6e66 6f2c 2020 : sketch.info, │ │ │ │ -00010ab0: 4e6f 6465 3a20 5377 6565 7020 6661 6365 Node: Sweep face │ │ │ │ -00010ac0: 2073 706c 6974 7469 6e67 2c20 2050 7265 splitting, Pre │ │ │ │ -00010ad0: 763a 2053 7765 7074 2062 6c6f 636b 732c v: Swept blocks, │ │ │ │ -00010ae0: 2020 5570 3a20 5377 6565 7073 0a0a 332e Up: Sweeps..3. │ │ │ │ -00010af0: 322e 362e 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It is not im │ │ │ │ +0000e380: 706c 656d 656e 7465 6420 696e 2074 6865 plemented in the │ │ │ │ +0000e390: 2063 7572 7265 6e74 2076 6572 7369 6f6e current version │ │ │ │ +0000e3a0: 206f 660a e280 9873 6b65 7463 68e2 8099 of....sketch... │ │ │ │ +0000e3b0: 2e0a 0a1f 0a46 696c 653a 2073 6b65 7463 .....File: sketc │ │ │ │ +0000e3c0: 682e 696e 666f 2c20 204e 6f64 653a 2050 h.info, Node: P │ │ │ │ +0000e3d0: 6f6c 7967 6f6e 732c 2020 4e65 7874 3a20 olygons, Next: │ │ │ │ +0000e3e0: 5370 6563 6961 6c73 2c20 2050 7265 763a Specials, Prev: │ │ │ │ +0000e3f0: 2043 7572 7665 732c 2020 5570 3a20 4472 Curves, Up: Dr │ │ │ │ +0000e400: 6177 6162 6c65 730a 0a33 2e32 2e34 2050 awables..3.2.4 P │ │ │ │ +0000e410: 6f6c 7967 6f6e 730a 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d olygons.-------- │ │ │ │ +0000e420: 2d2d 2d2d 2d2d 0a0a 2a53 796e 7461 783a ------..*Syntax: │ │ │ │ +0000e430: 2a0a 2020 2020 2070 6f6c 7967 6f6e 5b4f *. polygon[O │ │ │ │ +0000e440: 5054 494f 4e53 5d20 504f 494e 545f 4c49 PTIONS] POINT_LI │ │ │ │ +0000e450: 5354 0a54 6869 7320 636f 6d6d 616e 6420 ST.This command │ │ │ │ +0000e460: 6973 2074 6865 2074 6872 6565 2d64 696d is the three-dim │ │ │ │ +0000e470: 656e 7369 6f6e 616c 2065 7175 6976 616c ensional equival │ │ │ │ +0000e480: 656e 7420 6f66 2074 6865 20e2 8098 5053 ent of the ...PS │ │ │ │ +0000e490: 5472 6963 6b73 e280 990a 636f 6d6d 616e Tricks....comman │ │ │ │ +0000e4a0: 6420 e280 985c 7073 706f 6c79 676f 6ee2 d ...\pspolygon. │ │ │ │ +0000e4b0: 8099 2e20 2054 6865 20e2 8098 736b 6574 ... The ...sket │ │ │ │ +0000e4c0: 6368 e280 9920 6869 6464 656e 2073 7572 ch... hidden sur │ │ │ │ +0000e4d0: 6661 6365 2061 6c67 6f72 6974 686d 2061 face algorithm a │ │ │ │ +0000e4e0: 7373 756d 6573 0a74 6861 7420 706f 6c79 ssumes.that poly │ │ │ │ +0000e4f0: 676f 6e73 2061 7265 2063 6f6e 7665 7820 gons are convex │ │ │ │ +0000e500: 616e 6420 706c 616e 6172 2e20 2049 6e20 and planar. In │ │ │ │ +0000e510: 7072 6163 7469 6365 2c20 6472 6177 696e practice, drawin │ │ │ │ +0000e520: 6773 206d 6179 2077 656c 6c0a 7475 726e gs may well.turn │ │ │ │ +0000e530: 206f 7574 2063 6f72 7265 6374 6c79 2065 out correctly e │ │ │ │ +0000e540: 7665 6e20 6966 2074 6865 7365 2061 7373 ven if these ass │ │ │ │ +0000e550: 756d 7074 696f 6e73 2061 7265 2076 696f umptions are vio │ │ │ │ +0000e560: 6c61 7465 642e 0a0a 1f0a 4669 6c65 3a20 lated.....File: │ │ │ │ +0000e570: 736b 6574 6368 2e69 6e66 6f2c 2020 4e6f sketch.info, No │ │ │ │ +0000e580: 6465 3a20 5370 6563 6961 6c73 2c20 204e de: Specials, N │ │ │ │ +0000e590: 6578 743a 2053 7765 6570 732c 2020 5072 ext: Sweeps, Pr │ │ │ │ +0000e5a0: 6576 3a20 506f 6c79 676f 6e73 2c20 2055 ev: Polygons, U │ │ │ │ +0000e5b0: 703a 2044 7261 7761 626c 6573 0a0a 332e p: Drawables..3. │ │ │ │ +0000e5c0: 322e 3520 5370 6563 6961 6c73 0a2d 2d2d 2.5 Specials.--- │ │ │ │ +0000e5d0: 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d2d 2d0a 0a2a 5379 -----------..*Sy │ │ │ │ +0000e5e0: 6e74 6178 3a2a 0a20 2020 2020 7370 6563 ntax:*. spec │ │ │ │ +0000e5f0: 6961 6c20 2452 4157 5f54 4558 5424 5b4f ial $RAW_TEXT$[O │ │ │ │ +0000e600: 5054 494f 4e53 5d20 4152 475f 4c49 5354 PTIONS] ARG_LIST │ │ │ │ +0000e610: 0a48 6572 6520 e280 9824 e280 9920 6361 .Here ...$... ca │ │ │ │ +0000e620: 6e20 6265 2061 6e79 2063 6861 7261 6374 n be any charact │ │ │ │ +0000e630: 6572 2061 6e64 2069 7320 7573 6564 2074 er and is used t │ │ │ │ +0000e640: 6f20 6465 6c69 6d69 7420 7468 6520 7374 o delimit the st │ │ │ │ +0000e650: 6172 7420 616e 6420 656e 640a 6f66 2052 art and end.of R │ │ │ │ +0000e660: 4157 5f54 4558 542e 2020 5468 6520 636f AW_TEXT. The co │ │ │ │ +0000e670: 6d6d 616e 6420 656d 6265 6473 2052 4157 mmand embeds RAW │ │ │ │ +0000e680: 5f54 4558 5420 696e 2074 6865 20e2 8098 _TEXT in the ... │ │ │ │ +0000e690: 736b 6574 6368 e280 9920 6f75 7470 7574 sketch... output │ │ │ │ +0000e6a0: 2061 6674 6572 0a70 6572 666f 726d 696e after.performin │ │ │ │ +0000e6b0: 6720 7375 6273 7469 7475 7469 6f6e 7320 g substitutions │ │ │ │ +0000e6c0: 6173 2066 6f6c 6c6f 7773 2e0a 2020 20e2 as follows.. . │ │ │ │ +0000e6d0: 80a2 20e2 8098 2349 e280 9920 7768 6572 .. ...#I... wher │ │ │ │ +0000e6e0: 6520 4920 6973 2061 2070 6f73 6974 6976 e I is a positiv │ │ │ │ +0000e6f0: 6520 696e 7465 6765 7220 6973 2072 6570 e integer is rep │ │ │ │ +0000e700: 6c61 6365 6420 6279 2074 6865 2049 2774 laced by the I't │ │ │ │ +0000e710: 6820 7661 6c75 6520 696e 0a20 2020 2020 h value in. │ │ │ │ +0000e720: 4152 475f 4c49 5354 2e20 2050 6f69 6e74 ARG_LIST. Point │ │ │ │ +0000e730: 2061 6e64 2076 6563 746f 7220 6172 6775 and vector argu │ │ │ │ +0000e740: 6d65 6e74 7320 6265 636f 6d65 2074 776f ments become two │ │ │ │ +0000e750: 2d64 696d 656e 7369 6f6e 616c 0a20 2020 -dimensional. │ │ │ │ +0000e760: 2020 706f 696e 7473 2c20 7768 6963 6820 points, which │ │ │ │ +0000e770: 6172 6520 7468 6520 7472 616e 7366 6f72 are the transfor │ │ │ │ +0000e780: 6d65 6420 3364 2061 7267 756d 656e 7473 med 3d arguments │ │ │ │ +0000e790: 2070 726f 6a65 6374 6564 206f 6e74 6f20 projected onto │ │ │ │ +0000e7a0: 7468 650a 2020 2020 2058 2d59 2070 6c61 the. X-Y pla │ │ │ │ +0000e7b0: 6e65 2e20 2054 6869 7320 616c 6c6f 7773 ne. This allows │ │ │ │ +0000e7c0: 2074 776f 2d64 696d 656e 7469 6f6e 616c two-dimentional │ │ │ │ +0000e7d0: 206f 7574 7075 7420 656c 656d 656e 7473 output elements │ │ │ │ +0000e7e0: 2073 7563 6820 6173 0a20 2020 2020 6c61 such as. la │ │ │ │ +0000e7f0: 6265 6c73 2074 6f20 6265 2065 6173 696c bels to be easil │ │ │ │ +0000e800: 7920 706f 7369 7469 6f6e 6564 2077 6974 y positioned wit │ │ │ │ +0000e810: 6820 7265 7370 6563 7420 746f 2074 6872 h respect to thr │ │ │ │ +0000e820: 6565 2d64 696d 656e 7369 6f6e 616c 0a20 ee-dimensional. │ │ │ │ +0000e830: 2020 2020 6665 6174 7572 6573 2069 6e20 features in │ │ │ │ +0000e840: 7468 6520 6472 6177 696e 672e 2020 5363 the drawing. Sc │ │ │ │ +0000e850: 616c 6172 2061 7267 756d 656e 7473 2061 alar arguments a │ │ │ │ +0000e860: 7265 2073 7562 7369 7475 7465 6420 6469 re subsituted di │ │ │ │ +0000e870: 7265 6374 6c79 2e0a 2020 2020 204e 6f20 rectly.. No │ │ │ │ +0000e880: 7472 616e 7366 6f72 6d61 7469 6f6e 2069 transformation i │ │ │ │ +0000e890: 7320 6170 706c 6965 642e 0a20 2020 e280 s applied.. .. │ │ │ │ +0000e8a0: a220 e280 9823 7b49 7de2 8099 2069 7320 . ...#{I}... is │ │ │ │ +0000e8b0: 616c 736f 2072 6570 6c61 6365 6420 6173 also replaced as │ │ │ │ +0000e8c0: 2061 626f 7665 2e0a 2020 20e2 80a2 20e2 above.. ... . │ │ │ │ +0000e8d0: 8098 2349 2732 e280 9920 6973 2072 6570 ..#I'2... is rep │ │ │ │ +0000e8e0: 6c61 6365 6420 6173 2061 626f 7665 2066 laced as above f │ │ │ │ +0000e8f0: 6f72 2070 6f69 6e74 7320 6f72 2076 6563 or points or vec │ │ │ │ +0000e900: 746f 7273 2e20 2049 7420 6973 2061 6e20 tors. It is an │ │ │ │ +0000e910: 6572 726f 720a 2020 2020 2066 6f72 2074 error. for t │ │ │ │ +0000e920: 6865 2049 2774 6820 6172 6775 6d65 6e74 he I'th argument │ │ │ │ +0000e930: 2074 6f20 6265 2061 2073 6361 6c61 722e to be a scalar. │ │ │ │ +0000e940: 0a20 2020 e280 a220 e280 9823 4927 78e2 . ... ...#I'x. │ │ │ │ +0000e950: 8099 2c20 e280 9823 4927 79e2 8099 2c20 .., ...#I'y..., │ │ │ │ +0000e960: 6f72 20e2 8098 2349 277a e280 9920 6973 or ...#I'z... is │ │ │ │ +0000e970: 2072 6570 6c61 6365 642c 2072 6573 7065 replaced, respe │ │ │ │ +0000e980: 6374 6976 656c 792c 2062 7920 7468 6520 ctively, by the │ │ │ │ +0000e990: 7363 616c 6172 0a20 2020 2020 582c 2059 scalar. X, Y │ │ │ │ +0000e9a0: 2c20 6f72 205a 2d63 6f6f 7264 696e 6174 , or Z-coordinat │ │ │ │ +0000e9b0: 6520 6f66 2074 6865 2061 7267 756d 656e e of the argumen │ │ │ │ +0000e9c0: 7420 706f 696e 7420 6f72 2076 6563 746f t point or vecto │ │ │ │ +0000e9d0: 722e 2020 4974 2069 7320 616e 0a20 2020 r. 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The T_I (for │ │ │ │ +0000f020: 6920 6265 7477 6565 6e20 3120 616e 640a i between 1 and. │ │ │ │ +0000f030: 7229 2061 7265 2074 7261 6e73 666f 726d r) are transform │ │ │ │ +0000f040: 732e 2020 5468 6520 6b27 7468 2063 6f70 s. The k'th cop │ │ │ │ +0000f050: 7920 6f66 2053 5745 5054 5f4f 424a 4543 y of SWEPT_OBJEC │ │ │ │ +0000f060: 5420 6973 2070 726f 6475 6365 6420 6279 T is produced by │ │ │ │ +0000f070: 0a61 7070 6c79 696e 6720 7468 6520 666f .applying the fo │ │ │ │ +0000f080: 6c6c 6f77 696e 6720 7472 616e 7366 6f72 llowing transfor │ │ │ │ +0000f090: 6d20 746f 2074 6865 206f 7269 6769 6e61 m to the origina │ │ │ │ +0000f0a0: 6c2e 0a20 2020 2020 545f 315e 6b20 7468 l.. T_1^k th │ │ │ │ +0000f0b0: 656e 2054 5f32 5e6b 2074 6865 6e20 2e2e en T_2^k then .. │ │ │ │ +0000f0c0: 2e20 7468 656e 2054 5f52 5e6b 0a48 6572 . then T_R^k.Her │ │ │ │ +0000f0d0: 6520 545e 6b20 6d65 616e 7320 2274 7261 e T^k means "tra │ │ │ │ +0000f0e0: 6e73 666f 726d 2054 2061 7070 6c69 6564 nsform T applied │ │ │ │ +0000f0f0: 206b 2074 696d 6573 2e22 2020 5468 6520 k times." The │ │ │ │ +0000f100: 6f72 6967 696e 616c 206f 626a 6563 7420 original object │ │ │ │ +0000f110: 6973 0a74 6865 207a 6572 6f27 7468 2063 is.the zero'th c │ │ │ │ +0000f120: 6f70 792c 2077 6974 6820 6b3d 3020 616e opy, with k=0 an │ │ │ │ +0000f130: 6420 6566 6665 6374 6976 656c 7920 6e6f d effectively no │ │ │ │ +0000f140: 2074 7261 6e73 666f 726d 2061 7070 6c69 transform appli │ │ │ │ +0000f150: 6564 2028 545e 303d 492c 0a74 6865 2069 ed (T^0=I,.the i │ │ │ │ +0000f160: 6465 6e74 6974 7920 7472 616e 7366 6f72 dentity transfor │ │ │ │ +0000f170: 6d29 2e0a 0a20 2020 5468 6520 6d65 7468 m)... The meth │ │ │ │ +0000f180: 6f64 206f 6620 636f 6e6e 6563 7469 6e67 od of connecting │ │ │ │ +0000f190: 2074 6865 2063 6f70 6965 7320 6465 7065 the copies depe │ │ │ │ +0000f1a0: 6e64 7320 6f6e 2074 6865 2074 7970 6520 nds on the type │ │ │ │ +0000f1b0: 6f66 0a53 5745 5054 5f4f 424a 4543 5420 of.SWEPT_OBJECT │ │ │ │ +0000f1c0: 616e 6420 6f6e 2077 6865 7468 6572 2074 and on whether t │ │ │ │ +0000f1d0: 6865 2063 6c6f 7375 7265 2074 6167 20e2 he closure tag . │ │ │ │ +0000f1e0: 8098 3c3e e280 9920 6973 2070 7265 7365 ..<>... is prese │ │ │ │ +0000f1f0: 6e74 206f 7220 6e6f 742e 0a0a 2020 2041 nt or not... A │ │ │ │ +0000f200: 6e20 6578 616d 706c 6520 6f66 2061 2073 n example of a s │ │ │ │ +0000f210: 7765 6570 2077 6865 7265 2072 3d32 2069 weep where r=2 i │ │ │ │ +0000f220: 7320 7468 6520 4d6f 6269 7573 2066 6967 s the Mobius fig │ │ │ │ +0000f230: 7572 6520 6174 202a 6e6f 7465 204d 6f72 ure at *note Mor │ │ │ │ +0000f240: 6520 746f 0a6c 6561 726e 3a3a 2e0a 0a2a e to.learn::...* │ │ │ │ +0000f250: 204d 656e 753a 0a0a 2a20 5377 6570 7420 Menu:..* Swept │ │ │ │ +0000f260: 706f 696e 7473 3a3a 2020 2020 2020 2020 points:: │ │ │ │ +0000f270: 2020 2020 2020 2020 5377 6570 7420 706f Swept po │ │ │ │ +0000f280: 696e 7473 206d 616b 6520 6c69 6e65 7320 ints make lines │ │ │ │ +0000f290: 6f72 2070 6f6c 7967 6f6e 732e 0a2a 2053 or polygons..* S │ │ │ │ +0000f2a0: 7765 7074 206c 696e 6573 3a3a 2020 2020 wept lines:: │ │ │ │ +0000f2b0: 2020 2020 2020 2020 2020 2020 2053 7765 Swe │ │ │ │ +0000f2c0: 7074 206c 696e 6573 206d 616b 6520 6f70 pt lines make op │ │ │ │ +0000f2d0: 656e 206f 7220 636c 6f73 6564 2073 7572 en or closed sur │ │ │ │ +0000f2e0: 6661 6365 732e 0a2a 2053 7765 7074 2070 faces..* Swept p │ │ │ │ +0000f2f0: 6f6c 7967 6f6e 733a 3a20 2020 2020 2020 olygons:: │ │ │ │ +0000f300: 2020 2020 2020 2053 7765 7074 2070 6f6c Swept pol │ │ │ │ +0000f310: 7967 6f6e 7320 6d61 6b65 2063 6c6f 7365 ygons make close │ │ │ │ +0000f320: 6420 7375 7266 6163 6573 2e0a 2a20 5377 d surfaces..* Sw │ │ │ │ +0000f330: 6570 7420 626c 6f63 6b73 3a3a 2020 2020 ept blocks:: │ │ │ │ +0000f340: 2020 2020 2020 2020 2020 2020 5377 6570 Swep │ │ │ │ +0000f350: 7420 626c 6f63 6b20 e289 a120 626c 6f63 t block ... bloc │ │ │ │ +0000f360: 6b20 6f66 2073 7765 6570 732e 0a2a 2053 k of sweeps..* S │ │ │ │ +0000f370: 7765 6570 2066 6163 6520 7370 6c69 7474 weep face splitt │ │ │ │ +0000f380: 696e 673a 3a20 2020 2020 2020 2046 6978 ing:: Fix │ │ │ │ +0000f390: 696e 6720 7761 7270 6564 2066 6163 6573 ing warped faces │ │ │ │ +0000f3a0: 2077 6974 6820 7472 6961 6e67 6c65 732e with triangles. │ │ │ │ +0000f3b0: 0a0a 1f0a 4669 6c65 3a20 736b 6574 6368 ....File: sketch │ │ │ │ +0000f3c0: 2e69 6e66 6f2c 2020 4e6f 6465 3a20 5377 .info, Node: Sw │ │ │ │ +0000f3d0: 6570 7420 706f 696e 7473 2c20 204e 6578 ept points, Nex │ │ │ │ +0000f3e0: 743a 2053 7765 7074 206c 696e 6573 2c20 t: Swept lines, │ │ │ │ +0000f3f0: 2050 7265 763a 2053 7765 6570 732c 2020 Prev: Sweeps, │ │ │ │ +0000f400: 5570 3a20 5377 6565 7073 0a0a 332e 322e Up: Sweeps..3.2. │ │ │ │ +0000f410: 362e 3120 5377 6570 7420 706f 696e 7473 6.1 Swept points │ │ │ │ +0000f420: 0a2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e ................ │ │ │ │ +0000f430: 2e2e 2e2e 2e0a 0a49 6620 5357 4550 545f .......If SWEPT_ │ │ │ │ +0000f440: 4f42 4a45 4354 2069 7320 6120 706f 696e OBJECT is a poin │ │ │ │ +0000f450: 7420 6c69 7374 2061 6e64 2074 6865 7265 t list and there │ │ │ │ +0000f460: 2069 7320 6e6f 2063 6c6f 7375 7265 2074 is no closure t │ │ │ │ +0000f470: 6167 2c20 7468 656e 0ae2 8098 7377 6565 ag, then....swee │ │ │ │ +0000f480: 70e2 8099 2063 6f6e 6e65 6374 7320 4e2b p... connects N+ │ │ │ │ +0000f490: 3120 7375 6363 6573 7369 7665 2063 6f70 1 successive cop │ │ │ │ +0000f4a0: 6965 7320 6f66 2065 6163 6820 706f 696e ies of each poin │ │ │ │ +0000f4b0: 7420 2869 6e63 6c75 6469 6e67 2074 6865 t (including the │ │ │ │ +0000f4c0: 0a6f 7269 6769 6e61 6c29 2077 6974 6820 .original) with │ │ │ │ +0000f4d0: 7374 7261 6967 6874 206c 696e 6520 7365 straight line se │ │ │ │ +0000f4e0: 676d 656e 7473 2074 6f20 666f 726d 2061 gments to form a │ │ │ │ +0000f4f0: 2070 6f6c 796c 696e 652e 2020 4966 2074 polyline. 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In │ │ │ │ +0000f570: 2074 6869 7320 6d61 6e6e 6572 2c20 e280 this manner, .. │ │ │ │ +0000f580: 9873 7765 6570 e280 9920 666f 726d 7320 .sweep... forms │ │ │ │ +0000f590: 6120 7365 7420 6f66 0a6f 6e65 2d64 696d a set of.one-dim │ │ │ │ +0000f5a0: 656e 7369 6f6e 616c 206f 626a 6563 7473 ensional objects │ │ │ │ +0000f5b0: 2028 706f 6c79 6c69 6e65 7329 2066 726f (polylines) fro │ │ │ │ +0000f5c0: 6d20 7a65 726f 2d64 696d 656e 7369 6f6e m zero-dimension │ │ │ │ +0000f5d0: 616c 206f 6e65 7320 2870 6f69 6e74 7329 al ones (points) │ │ │ │ +0000f5e0: 2e0a 0a20 2020 5768 656e 2074 6865 7265 ... When there │ │ │ │ +0000f5f0: 205f 6973 5f20 6120 636c 6f73 7572 6520 _is_ a closure │ │ │ │ +0000f600: 7461 672c 20e2 8098 7377 6565 70e2 8099 tag, ...sweep... │ │ │ │ +0000f610: 2063 6f6e 6e65 6374 7320 4e20 7375 6363 connects N succ │ │ │ │ +0000f620: 6573 7369 7665 2063 6f70 6965 730a 6f66 essive copies.of │ │ │ │ +0000f630: 2065 6163 6820 706f 696e 7420 2869 6e63 each point (inc │ │ │ │ +0000f640: 6c75 6469 6e67 2074 6865 206f 7269 6769 luding the origi │ │ │ │ +0000f650: 6e61 6c29 2077 6974 6820 7374 7261 6967 nal) with straig │ │ │ │ +0000f660: 6874 206c 696e 6520 7365 676d 656e 7473 ht line segments │ │ │ │ +0000f670: 2061 6e64 0a66 696e 616c 6c79 2063 6f6e and.finally con │ │ │ │ +0000f680: 6e65 6374 7320 7468 6520 6c61 7374 2063 nects the last c │ │ │ │ +0000f690: 6f70 7920 6261 636b 2074 6f20 7468 6520 opy back to the │ │ │ │ +0000f6a0: 6f72 6967 696e 616c 2074 6f20 666f 726d original to form │ │ │ │ +0000f6b0: 2061 2070 6f6c 7967 6f6e 0a77 6974 6820 a polygon.with │ │ │ │ +0000f6c0: 4e20 7369 6465 732e 2020 4966 2074 6865 N sides. If the │ │ │ │ +0000f6d0: 7265 2061 7265 206d 2070 6f69 6e74 7320 re are m points │ │ │ │ +0000f6e0: 696e 2074 6865 206f 7269 6769 6e61 6c20 in the original │ │ │ │ +0000f6f0: 706f 696e 7420 6c69 7374 2c20 7468 656e point list, then │ │ │ │ +0000f700: 206d 0a70 6f6c 7967 6f6e 7320 7769 7468 m.polygons with │ │ │ │ +0000f710: 204e 2073 6964 6573 2065 6163 6820 6172 N sides each ar │ │ │ │ +0000f720: 6520 666f 726d 6564 2062 7920 7468 6520 e formed by the │ │ │ │ +0000f730: 7377 6565 702e 2020 496e 2074 6869 7320 sweep. In this │ │ │ │ +0000f740: 6d61 6e6e 6572 2c0a e280 9873 7765 6570 manner,....sweep │ │ │ │ +0000f750: e280 9920 666f 726d 7320 6120 7365 7420 ... forms a set │ │ │ │ +0000f760: 6f66 2074 776f 2d64 696d 656e 7369 6f6e of two-dimension │ │ │ │ +0000f770: 616c 206f 626a 6563 7473 2028 706f 6c79 al objects (poly │ │ │ │ +0000f780: 676f 6e73 2920 6672 6f6d 0a7a 6572 6f2d gons) from.zero- │ │ │ │ +0000f790: 6469 6d65 6e73 696f 6e61 6c20 6f6e 6573 dimensional ones │ │ │ │ +0000f7a0: 2028 706f 696e 7473 292e 0a0a 2020 204f (points)... O │ │ │ │ +0000f7b0: 7074 696f 6e73 206f 6620 7468 6520 e280 ptions of the .. │ │ │ │ +0000f7c0: 9873 7765 6570 e280 9920 6172 6520 636f .sweep... are co │ │ │ │ +0000f7d0: 7069 6564 2064 6972 6563 746c 7920 746f pied directly to │ │ │ │ +0000f7e0: 2074 6865 2072 6573 756c 7469 6e67 0a70 the resulting.p │ │ │ │ +0000f7f0: 6f6c 796c 696e 6528 7329 2e0a 0a1f 0a46 olyline(s).....F │ │ │ │ +0000f800: 696c 653a 2073 6b65 7463 682e 696e 666f ile: sketch.info │ │ │ │ +0000f810: 2c20 204e 6f64 653a 2053 7765 7074 206c , Node: Swept l │ │ │ │ +0000f820: 696e 6573 2c20 204e 6578 743a 2053 7765 ines, Next: Swe │ │ │ │ +0000f830: 7074 2070 6f6c 7967 6f6e 732c 2020 5072 pt polygons, Pr │ │ │ │ +0000f840: 6576 3a20 5377 6570 7420 706f 696e 7473 ev: Swept points │ │ │ │ +0000f850: 2c20 2055 703a 2053 7765 6570 730a 0a33 , Up: Sweeps..3 │ │ │ │ +0000f860: 2e32 2e36 2e32 2053 7765 7074 206c 696e .2.6.2 Swept lin │ │ │ │ +0000f870: 6573 0a2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e es.............. │ │ │ │ +0000f880: 2e2e 2e2e 2e2e 0a0a 4966 2053 5745 5054 ........If SWEPT │ │ │ │ +0000f890: 5f4f 424a 4543 5420 6973 2061 2070 6f6c _OBJECT is a pol │ │ │ │ +0000f8a0: 796c 696e 6520 616e 6420 7468 6572 6520 yline and there │ │ │ │ +0000f8b0: 6973 206e 6f20 636c 6f73 7572 6520 7461 is no closure ta │ │ │ │ +0000f8c0: 672c 2074 6865 6e20 e280 9873 7765 6570 g, then ...sweep │ │ │ │ +0000f8d0: e280 990a 636f 6e6e 6563 7473 204e 2b31 ....connects N+1 │ │ │ │ +0000f8e0: 2073 7563 6365 7373 6976 6520 636f 7069 successive copi │ │ │ │ +0000f8f0: 6573 206f 6620 7468 6520 706f 6c79 6c69 es of the polyli │ │ │ │ +0000f900: 6e65 2028 696e 636c 7564 696e 6720 7468 ne (including th │ │ │ │ +0000f910: 6520 6f72 6967 696e 616c 290a 7769 7468 e original).with │ │ │ │ +0000f920: 2066 6f75 722d 7369 6465 6420 706f 6c79 four-sided poly │ │ │ │ +0000f930: 676f 6e73 2c20 6561 6368 2070 6169 7220 gons, each pair │ │ │ │ +0000f940: 6f66 2063 6f70 6965 7320 6769 7669 6e67 of copies giving │ │ │ │ +0000f950: 2072 6973 6520 746f 2061 2022 706f 6c79 rise to a "poly │ │ │ │ +0000f960: 676f 6e0a 7374 7269 702e 2220 2049 6620 gon.strip." If │ │ │ │ +0000f970: 7468 6572 6520 6172 6520 6d20 706f 696e there are m poin │ │ │ │ +0000f980: 7473 2069 6e20 7468 6520 6f72 6967 696e ts in the origin │ │ │ │ +0000f990: 616c 2070 6f6c 796c 696e 652c 2074 6865 al polyline, the │ │ │ │ +0000f9a0: 6e20 286d 2d31 294e 0a70 6f6c 7967 6f6e n (m-1)N.polygon │ │ │ │ +0000f9b0: 7320 6172 6520 666f 726d 6564 2062 7920 s are formed by │ │ │ │ +0000f9c0: 7468 6520 7377 6565 702e 2020 5765 2063 the sweep. We c │ │ │ │ +0000f9d0: 616c 6c20 7468 6573 6520 e280 9c62 6f64 all these ...bod │ │ │ │ +0000f9e0: 7920 706f 6c79 676f 6e73 e280 9d2e 2020 y polygons.... │ │ │ │ +0000f9f0: 496e 0a74 6869 7320 6d61 6e6e 6572 2c20 In.this manner, │ │ │ │ +0000fa00: e280 9873 7765 6570 e280 9920 666f 726d ...sweep... form │ │ │ │ +0000fa10: 7320 6120 7477 6f2d 6469 6d65 6e73 696f s a two-dimensio │ │ │ │ +0000fa20: 6e61 6c20 7375 7266 6163 6520 6672 6f6d nal surface from │ │ │ │ +0000fa30: 2066 726f 6d20 610a 6f6e 652d 6469 6d65 from a.one-dime │ │ │ │ +0000fa40: 6e73 696f 6e61 6c20 706f 6c79 6c69 6e65 nsional polyline │ │ │ │ +0000fa50: 2e0a 0a20 2020 5468 6520 6f72 6465 7220 ... The order │ │ │ │ +0000fa60: 6f66 2076 6572 7469 6365 7320 7072 6f64 of vertices prod │ │ │ │ +0000fa70: 7563 6564 2062 7920 e280 9873 7765 6570 uced by ...sweep │ │ │ │ +0000fa80: e280 9920 6973 2069 6d70 6f72 7461 6e74 ... is important │ │ │ │ +0000fa90: 2e20 2049 6620 610a 706f 6c79 676f 6e27 . If a.polygon' │ │ │ │ +0000faa0: 7320 7665 7274 6963 6573 2064 6f20 6e6f s vertices do no │ │ │ │ +0000fab0: 7420 6170 7065 6172 2069 6e20 636f 756e t appear in coun │ │ │ │ +0000fac0: 7465 722d 636c 6f63 6b77 6973 6520 6f72 ter-clockwise or │ │ │ │ +0000fad0: 6465 7220 696e 2074 6865 2066 696e 616c der in the final │ │ │ │ +0000fae0: 0a69 6d61 6765 2c20 7468 6520 706f 6c79 .image, the poly │ │ │ │ +0000faf0: 676f 6e20 7769 6c6c 2062 6520 6375 6c6c gon will be cull │ │ │ │ +0000fb00: 6564 2028 756e 6c65 7373 20e2 8098 6375 ed (unless ...cu │ │ │ │ +0000fb10: 6c6c 3d66 616c 7365 e280 9920 6973 2073 ll=false... is s │ │ │ │ +0000fb20: 6574 292e 2020 4966 2074 6865 0a70 6f69 et). If the.poi │ │ │ │ +0000fb30: 6e74 7320 696e 2074 6865 206b 2774 6820 nts in the k'th │ │ │ │ +0000fb40: 636f 7079 206f 6620 7468 6520 706f 6c79 copy of the poly │ │ │ │ +0000fb50: 6c69 6e65 2061 7265 2050 5f31 2c20 505f line are P_1, P_ │ │ │ │ +0000fb60: 322c 202e 2e2e 2c20 505f 6d2c 2061 6e64 2, ..., P_m, and │ │ │ │ +0000fb70: 2074 6865 0a70 6f69 6e74 7320 696e 2074 the.points in t │ │ │ │ +0000fb80: 6865 206e 6578 7420 636f 7079 2c20 7468 he next copy, th │ │ │ │ +0000fb90: 6520 286b 2b31 2973 742c 2061 7265 2050 e (k+1)st, are P │ │ │ │ +0000fba0: 5f31 272c 2050 5f32 272c 202e 2e2e 2c20 _1', P_2', ..., │ │ │ │ +0000fbb0: 505f 6d27 2c20 7468 656e 0a74 6865 2076 P_m', then.the v │ │ │ │ +0000fbc0: 6572 7465 7820 6f72 6465 7220 6f66 2074 ertex order of t │ │ │ │ +0000fbd0: 6865 2067 656e 6572 6174 6564 2070 6f6c he generated pol │ │ │ │ +0000fbe0: 7967 6f6e 7320 6973 0a20 2020 2020 426f ygons is. Bo │ │ │ │ +0000fbf0: 6479 2070 6f6c 7967 6f6e 2031 3a20 505f dy polygon 1: P_ │ │ │ │ +0000fc00: 3220 505f 3120 505f 3127 2050 5f32 270a 2 P_1 P_1' P_2'. │ │ │ │ +0000fc10: 2020 2020 2042 6f64 7920 706f 6c79 676f Body polygo │ │ │ │ +0000fc20: 6e20 323a 2050 5f33 2050 5f32 2050 5f32 n 2: P_3 P_2 P_2 │ │ │ │ +0000fc30: 2720 505f 3327 0a20 2020 2020 2e2e 2e0a ' P_3'. .... │ │ │ │ +0000fc40: 2020 2020 2042 6f64 7920 706f 6c79 676f Body polygo │ │ │ │ +0000fc50: 6e20 6d2d 313a 2050 5f6d 2050 5f7b 6d2d n m-1: P_m P_{m- │ │ │ │ +0000fc60: 317d 2050 5f7b 6d2d 317d 2720 505f 6d27 1} P_{m-1}' P_m' │ │ │ │ +0000fc70: 0a0a 2020 204f 7074 696f 6e73 206f 6620 .. Options of │ │ │ │ +0000fc80: 756e 636c 6f73 6564 206c 696e 6520 7377 unclosed line sw │ │ │ │ +0000fc90: 6565 7073 2061 7265 2063 6f70 6965 6420 eeps are copied │ │ │ │ +0000fca0: 746f 2065 6163 6820 6f75 7470 7574 2070 to each output p │ │ │ │ +0000fcb0: 6f6c 7967 6f6e 2e0a 4f70 7469 6f6e 7320 olygon..Options │ │ │ │ +0000fcc0: 6f66 2074 6865 2073 7765 7074 206c 696e of the swept lin │ │ │ │ +0000fcd0: 6520 6172 6520 6967 6e6f 7265 642e 0a0a e are ignored... │ │ │ │ +0000fce0: 2020 2057 6865 6e20 7468 6572 6520 5f69 When there _i │ │ │ │ +0000fcf0: 735f 2061 2063 6c6f 7375 7265 2074 6167 s_ a closure tag │ │ │ │ +0000fd00: 2c20 7468 656e 20e2 8098 7377 6565 70e2 , then ...sweep. │ │ │ │ +0000fd10: 8099 2063 6f6e 6e65 6374 7320 4e20 7375 .. connects N su │ │ │ │ +0000fd20: 6363 6573 7369 7665 0a63 6f70 6965 7320 ccessive.copies │ │ │ │ +0000fd30: 6f66 2074 6865 2070 6f6c 796c 696e 6520 of the polyline │ │ │ │ +0000fd40: 2869 6e63 6c75 6469 6e67 2074 6865 206f (including the o │ │ │ │ +0000fd50: 7269 6769 6e61 6c29 2077 6974 6820 666f riginal) with fo │ │ │ │ +0000fd60: 7572 2d73 6964 6564 2062 6f64 790a 706f ur-sided body.po │ │ │ │ +0000fd70: 6c79 676f 6e73 206a 7573 7420 6173 2074 lygons just as t │ │ │ │ +0000fd80: 6865 2063 6173 6520 7769 7468 206e 6f20 he case with no │ │ │ │ +0000fd90: 636c 6f73 7572 6520 7461 672e 2020 4974 closure tag. It │ │ │ │ +0000fda0: 2074 6865 6e20 636f 6e6e 6563 7473 2074 then connects t │ │ │ │ +0000fdb0: 6865 0a6c 6173 7420 636f 7079 2062 6163 he.last copy bac │ │ │ │ +0000fdc0: 6b20 746f 2074 6865 206f 7269 6769 6e61 k to the origina │ │ │ │ +0000fdd0: 6c20 746f 2066 6f72 6d20 6120 7269 6262 l to form a ribb │ │ │ │ +0000fde0: 6f6e 2d73 6861 7065 6420 7375 7266 6163 on-shaped surfac │ │ │ │ +0000fdf0: 6520 7468 6174 0a63 6c6f 7365 7320 6f6e e that.closes on │ │ │ │ +0000fe00: 2069 7473 656c 6620 7769 7468 2074 776f itself with two │ │ │ │ +0000fe10: 2068 6f6c 6573 2072 656d 6169 6e69 6e67 holes remaining │ │ │ │ +0000fe20: 2e0a 0a20 2020 4669 6e61 6c6c 792c 2074 ... Finally, t │ │ │ │ +0000fe30: 6865 2073 7765 6570 2061 6464 7320 7477 he sweep adds tw │ │ │ │ +0000fe40: 6f20 6d6f 7265 2070 6f6c 7967 6f6e 7320 o more polygons │ │ │ │ +0000fe50: 746f 2073 6561 6c20 7468 6520 686f 6c65 to seal the hole │ │ │ │ +0000fe60: 7320 616e 6420 666f 726d 0a61 2063 6c6f s and form.a clo │ │ │ │ +0000fe70: 7365 6420 7375 7266 6163 6520 7468 6174 sed surface that │ │ │ │ +0000fe80: 2c20 6465 7065 6e64 696e 6720 6f6e 2074 , depending on t │ │ │ │ +0000fe90: 6865 2073 7765 6570 2074 7261 6e73 666f he sweep transfo │ │ │ │ +0000fea0: 726d 732c 206d 6179 2072 6570 7265 7365 rms, may represe │ │ │ │ +0000feb0: 6e74 0a74 6865 2062 6f75 6e64 6172 7920 nt.the boundary │ │ │ │ +0000fec0: 6f66 2061 2073 6f6c 6964 2e20 2049 6e20 of a solid. In │ │ │ │ +0000fed0: 7468 6973 206d 616e 6e65 722c 20e2 8098 this manner, ... │ │ │ │ +0000fee0: 7377 6565 70e2 8099 2066 6f72 6d73 2074 sweep... forms t │ │ │ │ +0000fef0: 6865 2062 6f75 6e64 6172 7920 6f66 0a61 he boundary of.a │ │ │ │ +0000ff00: 2074 6872 6565 2d64 696d 656e 7369 6f6e three-dimension │ │ │ │ +0000ff10: 616c 206f 626a 6563 7420 6672 6f6d 2061 al object from a │ │ │ │ +0000ff20: 206f 6e65 2d64 696d 656e 7369 6f6e 616c one-dimensional │ │ │ │ +0000ff30: 2070 6f6c 796c 696e 652e 2020 5765 2063 polyline. We c │ │ │ │ +0000ff40: 616c 6c0a 7468 6573 6520 686f 6c65 2d66 all.these hole-f │ │ │ │ +0000ff50: 696c 6c69 6e67 2070 6f6c 7967 6f6e 7320 illing polygons │ │ │ │ +0000ff60: e280 9c65 6e64 73e2 809d 2e0a 0a20 2020 ...ends...... │ │ │ │ +0000ff70: 5468 6520 6f72 6465 7220 6f66 2076 6572 The order of ver │ │ │ │ +0000ff80: 7469 6365 7320 6f66 2065 6e64 2070 6f6c tices of end pol │ │ │ │ +0000ff90: 7967 6f6e 7320 6973 2069 6d70 6f72 7461 ygons is importa │ │ │ │ +0000ffa0: 6e74 2066 6f72 2063 6f72 7265 6374 0a63 nt for correct.c │ │ │ │ +0000ffb0: 756c 6c69 6e67 2061 7320 6465 7363 7269 ulling as descri │ │ │ │ +0000ffc0: 6265 6420 6162 6f76 652e 2020 4966 2050 bed above. If P │ │ │ │ +0000ffd0: 5f31 5e31 2c20 505f 315e 322c 202e 2e2e _1^1, P_1^2, ... │ │ │ │ +0000ffe0: 2c20 505f 315e 6e20 6172 6520 7468 6520 , P_1^n are the │ │ │ │ +0000fff0: 4e0a 636f 7069 6573 206f 6620 7468 6520 N.copies of the │ │ │ │ +00010000: 6669 7273 7420 706f 6c79 6c69 6e65 2070 first polyline p │ │ │ │ +00010010: 6f69 6e74 2061 6e64 2050 5f6d 5e31 2c20 oint and P_m^1, │ │ │ │ +00010020: 505f 6d5e 322c 202e 2e2e 202c 505f 6d5e P_m^2, ... ,P_m^ │ │ │ │ +00010030: 6e20 6172 6520 7468 650a 4e20 636f 7069 n are the.N copi │ │ │ │ +00010040: 6573 206f 6620 7468 6520 6c61 7374 2070 es of the last p │ │ │ │ +00010050: 6f6c 796c 696e 6520 706f 696e 742c 2074 olyline point, t │ │ │ │ +00010060: 6865 6e20 7468 6520 656e 6420 706f 6c79 hen the end poly │ │ │ │ +00010070: 676f 6e20 7665 7274 6578 206f 7264 6572 gon vertex order │ │ │ │ +00010080: 0a69 730a 2020 2020 2045 6e64 2070 6f6c .is. End pol │ │ │ │ +00010090: 7967 6f6e 2031 3a20 505f 315e 6e2c 2050 ygon 1: P_1^n, P │ │ │ │ +000100a0: 5f31 5e7b 6e2d 317d 2c20 2e2e 2e20 2c50 _1^{n-1}, ... ,P │ │ │ │ +000100b0: 5f31 5e31 0a20 2020 2020 456e 6420 706f _1^1. End po │ │ │ │ +000100c0: 6c79 676f 6e20 323a 2050 5f6d 5e31 2c20 lygon 2: P_m^1, │ │ │ │ +000100d0: 505f 6d5e 322c 202e 2e2e 202c 505f 6d5e P_m^2, ... ,P_m^ │ │ │ │ +000100e0: 6e0a 0a20 2020 4966 2074 6865 7265 2061 n.. If there a │ │ │ │ +000100f0: 7265 206e 6f20 6f70 7469 6f6e 7320 6f6e re no options on │ │ │ │ +00010100: 2074 6865 2073 7765 7074 206c 696e 652c the swept line, │ │ │ │ +00010110: 2074 6865 6e20 7468 6520 e280 9873 7765 then the ...swe │ │ │ │ +00010120: 6570 e280 9920 6f70 7469 6f6e 730a 6172 ep... options.ar │ │ │ │ +00010130: 6520 636f 7069 6564 2074 6f20 6561 6368 e copied to each │ │ │ │ +00010140: 206f 7574 7075 7420 706f 6c79 676f 6e2e output polygon. │ │ │ │ +00010150: 2020 4966 2074 6865 2073 7765 7074 206c If the swept l │ │ │ │ +00010160: 696e 6520 646f 6573 2068 6176 6520 6f70 ine does have op │ │ │ │ +00010170: 7469 6f6e 732c 0a74 6865 7365 2061 7265 tions,.these are │ │ │ │ +00010180: 2063 6f70 6965 6420 746f 2063 6f72 7265 copied to corre │ │ │ │ +00010190: 7370 6f6e 6469 6e67 2062 6f64 7920 706f sponding body po │ │ │ │ +000101a0: 6c79 676f 6e73 3b20 7468 6520 7377 6565 lygons; the swee │ │ │ │ +000101b0: 7020 6f70 7469 6f6e 7320 6172 650a 636f p options are.co │ │ │ │ +000101c0: 7069 6564 2074 6f20 7468 6520 656e 6420 pied to the end │ │ │ │ +000101d0: 706f 6c79 676f 6e73 2e20 2049 6e20 7468 polygons. In th │ │ │ │ +000101e0: 6973 206d 616e 6e65 722c 2062 6f64 7920 is manner, body │ │ │ │ +000101f0: 616e 6420 656e 6473 206d 6179 2062 6520 and ends may be │ │ │ │ +00010200: 6472 6177 6e0a 7769 7468 2064 6966 6665 drawn.with diffe │ │ │ │ +00010210: 7265 6e74 2063 6861 7261 6374 6572 6973 rent characteris │ │ │ │ +00010220: 7469 6373 2073 7563 6820 6173 20e2 8098 tics such as ... │ │ │ │ +00010230: 6669 6c6c 636f 6c6f 72e2 8099 2e0a 0a1f fillcolor....... │ │ │ │ +00010240: 0a46 696c 653a 2073 6b65 7463 682e 696e .File: sketch.in │ │ │ │ +00010250: 666f 2c20 204e 6f64 653a 2053 7765 7074 fo, Node: Swept │ │ │ │ +00010260: 2070 6f6c 7967 6f6e 732c 2020 4e65 7874 polygons, Next │ │ │ │ +00010270: 3a20 5377 6570 7420 626c 6f63 6b73 2c20 : Swept blocks, │ │ │ │ +00010280: 2050 7265 763a 2053 7765 7074 206c 696e Prev: Swept lin │ │ │ │ +00010290: 6573 2c20 2055 703a 2053 7765 6570 730a es, Up: Sweeps. │ │ │ │ +000102a0: 0a33 2e32 2e36 2e33 2053 7765 7074 2070 .3.2.6.3 Swept p │ │ │ │ +000102b0: 6f6c 7967 6f6e 730a 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e olygons......... │ │ │ │ +000102c0: 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 0a0a ................ │ │ │ │ +000102d0: 4966 2053 5745 5054 5f4f 424a 4543 5420 If SWEPT_OBJECT │ │ │ │ +000102e0: 6973 2061 2070 6f6c 7967 6f6e 2c20 7468 is a polygon, th │ │ │ │ +000102f0: 6520 e280 9873 7765 6570 e280 9920 636f e ...sweep... co │ │ │ │ +00010300: 6e6e 6563 7473 204e 2b31 2073 7563 6365 nnects N+1 succe │ │ │ │ +00010310: 7373 6976 6520 636f 7069 6573 0a6f 6620 ssive copies.of │ │ │ │ +00010320: 7468 6520 636c 6f73 6564 2070 6f6c 796c the closed polyl │ │ │ │ +00010330: 696e 6520 626f 7264 6572 206f 6620 7468 ine border of th │ │ │ │ +00010340: 6520 706f 6c79 676f 6e20 746f 2066 6f72 e polygon to for │ │ │ │ +00010350: 6d20 626f 6479 2070 6f6c 7967 6f6e 730a m body polygons. │ │ │ │ +00010360: 6578 6163 746c 7920 6173 2074 686f 7567 exactly as thoug │ │ │ │ +00010370: 6820 7468 6520 626f 7264 6572 2077 6572 h the border wer │ │ │ │ +00010380: 6520 6120 7377 6570 7420 706f 6c79 6c69 e a swept polyli │ │ │ │ +00010390: 6e65 2061 7320 6465 7363 7269 6265 6420 ne as described │ │ │ │ +000103a0: 696e 202a 6e6f 7465 0a53 7765 7074 206c in *note.Swept l │ │ │ │ +000103b0: 696e 6573 3a3a 2e20 2049 6620 7468 6572 ines::. If ther │ │ │ │ +000103c0: 6520 6172 6520 6d20 706f 696e 7473 2069 e are m points i │ │ │ │ +000103d0: 6e20 7468 6520 6f72 6967 696e 616c 2070 n the original p │ │ │ │ +000103e0: 6f6c 7967 6f6e 2c20 7468 656e 206d 4e0a olygon, then mN. │ │ │ │ +000103f0: 626f 6479 2070 6f6c 7967 6f6e 7320 6172 body polygons ar │ │ │ │ +00010400: 6520 666f 726d 6564 2062 7920 7468 6973 e formed by this │ │ │ │ +00010410: 2073 7765 6570 2e20 2054 6865 2062 6f64 sweep. The bod │ │ │ │ +00010420: 7920 706f 6c79 676f 6e73 2066 6f72 6d20 y polygons form │ │ │ │ +00010430: 616e 0ae2 809c 6578 7472 7573 696f 6ee2 an....extrusion. │ │ │ │ +00010440: 809d 206f 6620 7468 6520 626f 756e 6461 .. of the bounda │ │ │ │ +00010450: 7279 206f 6620 7468 6520 6f72 6967 696e ry of the origin │ │ │ │ +00010460: 616c 2070 6f6c 7967 6f6e 2077 6974 6820 al polygon with │ │ │ │ +00010470: 7477 6f20 686f 6c65 7320 6174 0a74 6865 two holes at.the │ │ │ │ +00010480: 206f 7065 6e20 656e 6473 2e0a 0a20 2020 open ends... │ │ │ │ +00010490: 4669 6e61 6c6c 792c 2074 6865 2073 7765 Finally, the swe │ │ │ │ +000104a0: 6570 2061 6464 7320 7477 6f20 636f 7069 ep adds two copi │ │ │ │ +000104b0: 6573 206f 6620 7468 6520 6f72 6967 696e es of the origin │ │ │ │ +000104c0: 616c 2070 6f6c 7967 6f6e 2074 6f20 636f al polygon to co │ │ │ │ +000104d0: 7665 720a 7468 6520 686f 6c65 732e 2020 ver.the holes. │ │ │ │ +000104e0: 5765 2063 616c 6c20 7468 6573 6520 686f We call these ho │ │ │ │ +000104f0: 6c65 2d66 696c 6c69 6e67 2070 6f6c 7967 le-filling polyg │ │ │ │ +00010500: 6f6e 7320 e280 9c65 6e64 73e2 809d 2e20 ons ...ends.... │ │ │ │ +00010510: 2049 6e20 7468 6973 206d 616e 6e65 722c In this manner, │ │ │ │ +00010520: 0ae2 8098 7377 6565 70e2 8099 2066 6f72 ....sweep... for │ │ │ │ +00010530: 6d73 2074 6865 2062 6f75 6e64 6172 7920 ms the boundary │ │ │ │ +00010540: 6f66 2061 2074 6872 6565 2d64 696d 656e of a three-dimen │ │ │ │ +00010550: 7369 6f6e 616c 206f 626a 6563 7420 6672 sional object fr │ │ │ │ +00010560: 6f6d 2061 0a74 776f 2d64 696d 656e 7369 om a.two-dimensi │ │ │ │ +00010570: 6f6e 616c 2070 6f6c 7967 6f6e 2e0a 0a20 onal polygon... │ │ │ │ +00010580: 2020 5468 6520 6f72 6465 7220 6f66 2076 The order of v │ │ │ │ +00010590: 6572 7469 6365 7320 6f66 2065 6e64 2070 ertices of end p │ │ │ │ +000105a0: 6f6c 7967 6f6e 7320 6973 2069 6d70 6f72 olygons is impor │ │ │ │ +000105b0: 7461 6e74 2066 6f72 2063 6f72 7265 6374 tant for correct │ │ │ │ +000105c0: 0a63 756c 6c69 6e67 2061 7320 6465 7363 .culling as desc │ │ │ │ +000105d0: 7269 6265 6420 6162 6f76 652e 2020 416e ribed above. An │ │ │ │ +000105e0: 2065 7861 6374 2063 6f70 7920 6f66 2074 exact copy of t │ │ │ │ +000105f0: 6865 206f 7269 6769 6e61 6c20 706f 6c79 he original poly │ │ │ │ +00010600: 676f 6e20 7769 7468 0a76 6572 7465 7820 gon with.vertex │ │ │ │ +00010610: 6f72 6465 7220 696e 7461 6374 2066 6f72 order intact for │ │ │ │ +00010620: 6d73 2074 6865 2066 6972 7374 2065 6e64 ms the first end │ │ │ │ +00010630: 2070 6f6c 7967 6f6e 2e20 2054 6865 206f polygon. The o │ │ │ │ +00010640: 7468 6572 2065 6e64 2070 6f6c 7967 6f6e ther end polygon │ │ │ │ +00010650: 0a72 6573 756c 7473 2066 726f 6d20 7472 .results from tr │ │ │ │ +00010660: 616e 7366 6f72 6d69 6e67 2061 6e64 2074 ansforming and t │ │ │ │ +00010670: 6865 2072 6576 6572 7369 6e67 2074 6865 he reversing the │ │ │ │ +00010680: 206f 7264 6572 206f 6620 7665 7274 6963 order of vertic │ │ │ │ +00010690: 6573 2069 6e20 7468 650a 6f72 6967 696e es in the.origin │ │ │ │ +000106a0: 616c 2e20 2054 6865 2074 7261 6e73 666f al. The transfo │ │ │ │ +000106b0: 726d 2070 6c61 6365 7320 7468 6520 6f72 rm places the or │ │ │ │ +000106c0: 6967 696e 616c 2070 6f6c 7967 6f6e 2061 iginal polygon a │ │ │ │ +000106d0: 7420 7468 6520 756e 636f 7665 7265 640a t the uncovered. │ │ │ │ +000106e0: 686f 6c65 3b20 6974 2069 730a 2020 2020 hole; it is. │ │ │ │ +000106f0: 2054 5f31 5e6e 2074 6865 6e20 545f 325e T_1^n then T_2^ │ │ │ │ +00010700: 6e20 7468 656e 202e 2e2e 2074 6865 6e20 n then ... then │ │ │ │ +00010710: 545f 525e 6e2e 0a49 6620 7468 6572 6520 T_R^n..If there │ │ │ │ +00010720: 6172 6520 6e6f 206f 7074 696f 6e73 206f are no options o │ │ │ │ +00010730: 6e20 7468 6520 7377 6570 7420 706f 6c79 n the swept poly │ │ │ │ +00010740: 676f 6e2c 2074 6865 6e20 7468 6520 e280 gon, then the .. │ │ │ │ +00010750: 9873 7765 6570 e280 9920 6f70 7469 6f6e .sweep... option │ │ │ │ +00010760: 730a 6172 6520 636f 7069 6564 2074 6f20 s.are copied to │ │ │ │ +00010770: 6561 6368 206f 7574 7075 7420 706f 6c79 each output poly │ │ │ │ +00010780: 676f 6e2e 2020 4966 2074 6865 2073 7765 gon. If the swe │ │ │ │ +00010790: 7074 2070 6f6c 7967 6f6e 2064 6f65 7320 pt polygon does │ │ │ │ +000107a0: 6861 7665 0a6f 7074 696f 6e73 2c20 7468 have.options, th │ │ │ │ +000107b0: 6573 6520 6172 6520 636f 7069 6564 2074 ese are copied t │ │ │ │ +000107c0: 6f20 7468 6520 656e 6473 3b20 7468 6520 o the ends; the │ │ │ │ +000107d0: 7377 6565 7020 6f70 7469 6f6e 7320 6172 sweep options ar │ │ │ │ +000107e0: 6520 636f 7069 6564 2074 6f0a 7468 6520 e copied to.the │ │ │ │ +000107f0: 626f 6479 2070 6f6c 7967 6f6e 732e 2020 body polygons. │ │ │ │ +00010800: 496e 2074 6869 7320 6d61 6e6e 6572 2c20 In this manner, │ │ │ │ +00010810: 626f 6479 2061 6e64 2065 6e64 7320 6d61 body and ends ma │ │ │ │ +00010820: 7920 6265 2064 7261 776e 2077 6974 680a y be drawn with. │ │ │ │ +00010830: 6469 6666 6572 656e 7420 6368 6172 6163 different charac │ │ │ │ +00010840: 7465 7269 7374 6963 7320 7375 6368 2061 teristics such a │ │ │ │ +00010850: 7320 e280 9866 696c 6c63 6f6c 6f72 e280 s ...fillcolor.. │ │ │ │ +00010860: 992e 0a0a 1f0a 4669 6c65 3a20 736b 6574 ......File: sket │ │ │ │ +00010870: 6368 2e69 6e66 6f2c 2020 4e6f 6465 3a20 ch.info, Node: │ │ │ │ +00010880: 5377 6570 7420 626c 6f63 6b73 2c20 204e Swept blocks, N │ │ │ │ +00010890: 6578 743a 2053 7765 6570 2066 6163 6520 ext: Sweep face │ │ │ │ +000108a0: 7370 6c69 7474 696e 672c 2020 5072 6576 splitting, Prev │ │ │ │ +000108b0: 3a20 5377 6570 7420 706f 6c79 676f 6e73 : Swept polygons │ │ │ │ +000108c0: 2c20 2055 703a 2053 7765 6570 730a 0a33 , Up: Sweeps..3 │ │ │ │ +000108d0: 2e32 2e36 2e34 2053 7765 7074 2062 6c6f .2.6.4 Swept blo │ │ │ │ +000108e0: 636b 730a 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e cks............. │ │ │ │ +000108f0: 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 0a0a 5468 6520 7377 ..........The sw │ │ │ │ +00010900: 6570 7420 6f62 6a65 6374 2053 5745 5054 ept object SWEPT │ │ │ │ +00010910: 5f4f 424a 4543 5420 6d61 7920 616c 736f _OBJECT may also │ │ │ │ +00010920: 2062 6520 616e 7920 636f 6c6c 6563 7469 be any collecti │ │ │ │ +00010930: 6f6e 206f 6620 706f 6c79 6c69 6e65 730a on of polylines. │ │ │ │ +00010940: 616e 6420 706f 6c79 676f 6e73 2e20 2054 and polygons. T │ │ │ │ +00010950: 6869 7320 6d61 7920 6265 2061 2062 6c6f his may be a blo │ │ │ │ +00010960: 636b 2063 6f6d 706f 7365 6420 6f66 20e2 ck composed of . │ │ │ │ +00010970: 8098 6c69 6e65 e280 9920 616e 642f 6f72 ..line... and/or │ │ │ │ +00010980: 20e2 8098 706f 6c79 676f 6ee2 8099 0a63 ...polygon....c │ │ │ │ +00010990: 6f6d 6d61 6e64 7320 696e 2062 7261 6365 ommands in brace │ │ │ │ +000109a0: 7320 e280 987b 207d e280 992c 206f 7220 s ...{ }..., or │ │ │ │ +000109b0: 6974 206d 6179 2062 6520 7468 6520 7265 it may be the re │ │ │ │ +000109c0: 7375 6c74 206f 6620 6120 e280 9872 6570 sult of a ...rep │ │ │ │ +000109d0: 6561 74e2 8099 2c20 616e 6f74 6865 720a eat..., another. │ │ │ │ +000109e0: e280 9873 7765 6570 e280 992c 2065 7463 ...sweep..., etc │ │ │ │ +000109f0: 2e20 2054 6865 2073 7765 6570 2061 6374 . The sweep act │ │ │ │ +00010a00: 7320 696e 6465 7065 6e64 656e 746c 7920 s independently │ │ │ │ +00010a10: 6f6e 2065 6163 6820 6f62 6a65 6374 2069 on each object i │ │ │ │ +00010a20: 6e20 7468 6520 626c 6f63 6b0a 6578 6163 n the block.exac │ │ │ │ +00010a30: 746c 7920 6173 2069 6620 6974 2077 6572 tly as if it wer │ │ │ │ +00010a40: 6520 6120 7369 6e67 6c65 2073 7765 7074 e a single swept │ │ │ │ +00010a50: 206f 626a 6563 7420 6465 7363 7269 6265 object describe │ │ │ │ +00010a60: 6420 6162 6f76 6520 696e 202a 6e6f 7465 d above in *note │ │ │ │ +00010a70: 0a53 7765 7074 206c 696e 6573 3a3a 2061 .Swept lines:: a │ │ │ │ +00010a80: 6e64 202a 6e6f 7465 2053 7765 7074 2070 nd *note Swept p │ │ │ │ +00010a90: 6f6c 7967 6f6e 733a 3a2e 0a0a 1f0a 4669 olygons::.....Fi │ │ │ │ +00010aa0: 6c65 3a20 736b 6574 6368 2e69 6e66 6f2c le: sketch.info, │ │ │ │ +00010ab0: 2020 4e6f 6465 3a20 5377 6565 7020 6661 Node: Sweep fa │ │ │ │ +00010ac0: 6365 2073 706c 6974 7469 6e67 2c20 2050 ce splitting, P │ │ │ │ +00010ad0: 7265 763a 2053 7765 7074 2062 6c6f 636b rev: Swept block │ │ │ │ +00010ae0: 732c 2020 5570 3a20 5377 6565 7073 0a0a s, Up: Sweeps.. │ │ │ │ +00010af0: 332e 322e 362e 3520 5377 6565 7020 6661 3.2.6.5 Sweep fa │ │ │ │ +00010b00: 6365 2073 706c 6974 7469 6e67 0a2e 2e2e ce splitting.... │ │ │ │ 00010b10: 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e 2e2e ................ │ │ │ │ -00010b20: 2e2e 2e2e 2e2e 2e0a 0a42 6566 6f72 6520 .........Before │ │ │ │ -00010b30: 7365 6e64 696e 6720 6561 6368 2066 6f75 sending each fou │ │ │ │ -00010b40: 722d 7369 6465 6420 626f 6479 2070 6f6c r-sided body pol │ │ │ │ -00010b50: 7967 6f6e 206f 6620 6120 e280 9873 7765 ygon of a ...swe │ │ │ │ -00010b60: 6570 e280 9920 746f 2074 6865 206f 7574 ep... to the out │ │ │ │ -00010b70: 7075 742c 0ae2 8098 736b 6574 6368 e280 put,....sketch.. │ │ │ │ -00010b80: 9920 7465 7374 7320 746f 2073 6565 2069 . tests to see i │ │ │ │ -00010b90: 6620 6974 2069 7320 726f 7567 686c 7920 f it is roughly │ │ │ │ -00010ba0: 706c 616e 6172 2e20 2053 696e 6365 2070 planar. 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It │ │ │ │ +00010cc0: 6973 2074 6865 2075 7365 7227 730a 7265 is the user's.re │ │ │ │ +00010cd0: 7370 6f6e 7369 6269 6c69 7479 2074 6f20 sponsibility to │ │ │ │ +00010ce0: 656e 7375 7265 2074 6865 7365 2061 7265 ensure these are │ │ │ │ +00010cf0: 2070 6c61 6e61 722e 0a0a 1f0a 4669 6c65 planar.....File │ │ │ │ +00010d00: 3a20 736b 6574 6368 2e69 6e66 6f2c 2020 : sketch.info, │ │ │ │ +00010d10: 4e6f 6465 3a20 426c 6f63 6b73 2c20 204e Node: Blocks, N │ │ │ │ +00010d20: 6578 743a 2052 6570 6561 7473 2c20 2050 ext: Repeats, P │ │ │ │ +00010d30: 7265 763a 2053 7765 6570 732c 2020 5570 rev: Sweeps, Up │ │ │ │ +00010d40: 3a20 4472 6177 6162 6c65 730a 0a33 2e32 : Drawables..3.2 │ │ │ │ +00010d50: 2e37 2042 6c6f 636b 730a 2d2d 2d2d 2d2d .7 Blocks.------ │ │ │ │ +00010d60: 2d2d 2d2d 2d2d 0a0a 416e 7920 7365 7175 ------..Any sequ │ │ │ │ +00010d70: 656e 6365 206f 6620 6472 6177 6162 6c65 ence of drawable │ │ │ │ +00010d80: 7320 6d61 7920 6265 2067 726f 7570 6564 s may be grouped │ │ │ │ +00010d90: 2069 6e20 6120 e280 9c62 6c6f 636b e280 in a ...block.. │ │ │ │ +00010da0: 9d20 6d65 7265 6c79 2062 790a 656e 636c . merely by.encl │ │ │ │ +00010db0: 6f73 696e 6720 7468 656d 2069 6e20 6272 osing them in br │ │ │ │ +00010dc0: 6163 6573 20e2 8098 7b20 7de2 8099 2e20 aces ...{ }.... │ │ │ │ +00010dd0: 2041 2062 6c6f 636b 2069 7320 6974 7365 A block is itse │ │ │ │ +00010de0: 6c66 2064 7261 7761 626c 652e 2020 4120 lf drawable. 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When a │ │ │ │ -00015b30: 7070 6c69 6564 2074 6f20 e280 9828 7031 pplied to ...(p1 │ │ │ │ -00015b40: 2920 2d20 284f 29e2 8099 2c20 7468 650a ) - (O)..., the. │ │ │ │ -00015b50: 7265 7375 6c74 696e 6720 7665 6374 6f72 resulting vector │ │ │ │ -00015b60: 2070 6f69 6e74 7320 746f 2074 6865 2072 points to the r │ │ │ │ -00015b70: 6967 6874 2061 7320 7368 6f77 6e2e 2020 ight as shown. │ │ │ │ -00015b80: 496e 2074 6869 7320 6d61 6e6e 6572 2c20 In this manner, │ │ │ │ -00015b90: 7765 2063 616e 0a70 6963 6b20 616e 7920 we can.pick any │ │ │ │ -00015ba0: 7665 7274 6578 2061 7320 7468 6520 6c6f vertex as the lo │ │ │ │ -00015bb0: 6361 7469 6f6e 206f 6620 7468 6520 6865 cation of the he │ │ │ │ -00015bc0: 6967 6874 2064 696d 656e 7369 6f6e 206c ight dimension l │ │ │ │ -00015bd0: 696e 6573 2062 7920 7661 7279 696e 670a ines by varying. │ │ │ │ -00015be0: 7468 6520 6578 706f 6e65 6e74 206f 6620 the exponent of │ │ │ │ -00015bf0: e280 985b 5b73 6567 5f72 6f74 5d5d e280 ...[[seg_rot]].. │ │ │ │ -00015c00: 992e 2020 5468 6973 2069 7320 6f6e 6c79 .. This is only │ │ │ │ -00015c10: 206f 6e65 206f 6620 6d61 6e79 2070 6f73 one of many pos │ │ │ │ -00015c20: 7369 626c 650a 7374 7261 7465 6769 6573 sible.strategies │ │ │ │ -00015c30: 2e0a 0a20 2020 5468 6520 636f 6d70 7574 ... The comput │ │ │ │ -00015c40: 6174 696f 6e20 6f66 20e2 8098 686d 32e2 ation of ...hm2. │ │ │ │ -00015c50: 8099 2069 7320 6120 7573 6566 756c 2069 .. is a useful i │ │ │ │ -00015c60: 6469 6f6d 2066 6f72 2066 696e 6469 6e67 diom for finding │ │ │ │ -00015c70: 2074 6865 2063 656e 7472 6f69 640a 6f66 the centroid.of │ │ │ │ -00015c80: 2061 2073 6574 206f 6620 706f 696e 7473 a set of points │ │ │ │ -00015c90: 2e0a 0a20 2020 5468 6520 7477 6f20 7261 ... The two ra │ │ │ │ -00015ca0: 6469 7573 206d 6172 6b73 2061 7265 2064 dius marks are d │ │ │ │ -00015cb0: 6f6e 6520 7369 6d69 6c61 726c 792c 2073 one similarly, s │ │ │ │ -00015cc0: 6f20 7765 2070 7265 7365 6e74 2074 6865 o we present the │ │ │ │ -00015cd0: 2063 6f64 650a 7769 7468 6f75 7420 636f code.without co │ │ │ │ -00015ce0: 6d6d 656e 742e 0a20 2025 2072 6164 6975 mment.. % radiu │ │ │ │ -00015cf0: 7320 6d65 6173 7572 656d 656e 7420 6d61 s measurement ma │ │ │ │ -00015d00: 726b 730a 2020 6465 6620 6761 7020 5b30 rks. def gap [0 │ │ │ │ -00015d10: 2c2e 322c 305d 2020 2520 7573 6564 2074 ,.2,0] % used t │ │ │ │ -00015d20: 6f20 6372 6561 7465 2073 6d61 6c6c 2076 o create small v │ │ │ │ -00015d30: 6572 7469 6361 6c20 6761 7073 0a0a 2020 ertical gaps.. │ │ │ │ -00015d40: 2520 6669 7273 7420 7231 0a20 2064 6566 % first r1. def │ │ │ │ -00015d50: 2075 7031 205b 302c 332e 312c 305d 2025 up1 [0,3.1,0] % │ │ │ │ -00015d60: 2074 6963 6b20 7269 7365 7320 6162 6f76 tick rises abov │ │ │ │ -00015d70: 6520 6469 6d65 6e73 696f 6e20 6120 6c69 e dimension a li │ │ │ │ -00015d80: 7474 6c65 0a20 2064 6566 2072 3120 2828 ttle. def r1 (( │ │ │ │ -00015d90: 7031 2920 7468 656e 205b 5b73 6567 5f72 p1) then [[seg_r │ │ │ │ -00015da0: 6f74 5d5d 5e2d 3229 202b 205b 7570 315d ot]]^-2) + [up1] │ │ │ │ -00015db0: 0a20 2064 6566 2072 3163 2028 7231 2920 . def r1c (r1) │ │ │ │ -00015dc0: 7468 656e 2073 6361 6c65 285b 4a5d 290a then scale([J]). │ │ │ │ -00015dd0: 2020 6465 6620 7231 7420 2872 3129 202b def r1t (r1) + │ │ │ │ -00015de0: 205b 6761 705d 0a20 2064 6566 2072 3162 [gap]. def r1b │ │ │ │ -00015df0: 2028 2872 3174 2920 7468 656e 2073 6361 ((r1t) then sca │ │ │ │ -00015e00: 6c65 285b 312c 302c 315d 2929 202b 205b le([1,0,1])) + [ │ │ │ │ -00015e10: 6761 705d 0a20 206c 696e 655b 6172 726f gap]. line[arro │ │ │ │ -00015e20: 7773 3d3c 2d3e 5d28 7231 6329 2872 3129 ws=<->](r1c)(r1) │ │ │ │ -00015e30: 2020 2520 6469 6d65 6e73 696f 6e20 6c69 % dimension li │ │ │ │ -00015e40: 6e65 0a20 206c 696e 6528 7231 6229 2872 ne. line(r1b)(r │ │ │ │ -00015e50: 3174 2920 2020 2020 2020 2020 2020 2020 1t) │ │ │ │ -00015e60: 2520 7469 636b 0a20 2064 6566 2072 316d % tick. def r1m │ │ │ │ -00015e70: 2028 2872 3129 202d 2028 4f29 202b 2028 ((r1) - (O) + ( │ │ │ │ -00015e80: 7231 6329 202d 2028 4f29 2920 2f20 3220 r1c) - (O)) / 2 │ │ │ │ -00015e90: 2b20 284f 2920 2520 6c61 6265 6c20 706f + (O) % label po │ │ │ │ -00015ea0: 7369 7469 6f6e 0a20 2073 7065 6369 616c sition. special │ │ │ │ -00015eb0: 207c 5c66 6f6f 746e 6f74 6573 697a 655c |\footnotesize\ │ │ │ │ -00015ec0: 7270 7574 2a23 317b 2472 5f31 247d 7c28 rput*#1{$r_1$}|( │ │ │ │ -00015ed0: 7231 6d29 2020 2520 6c61 6265 6c0a 0a20 r1m) % label.. │ │ │ │ -00015ee0: 2025 2073 616d 6520 6472 696c 6c20 666f % same drill fo │ │ │ │ -00015ef0: 7220 7230 2c20 6275 7420 6d75 7374 2070 r r0, but must p │ │ │ │ -00015f00: 726f 6a65 6374 2064 6f77 6e20 6669 7273 roject down firs │ │ │ │ -00015f10: 740a 2020 6465 6620 7570 3020 5b30 2c32 t. def up0 [0,2 │ │ │ │ -00015f20: 2e37 2c30 5d0a 2020 6465 6620 7230 2028 .7,0]. def r0 ( │ │ │ │ -00015f30: 2870 3029 2074 6865 6e20 7363 616c 6528 (p0) then scale( │ │ │ │ -00015f40: 5b31 2c30 2c31 5d29 2074 6865 6e20 5b5b [1,0,1]) then [[ │ │ │ │ -00015f50: 7365 675f 726f 745d 5d5e 2d32 2920 2b20 seg_rot]]^-2) + │ │ │ │ -00015f60: 5b75 7030 5d0a 2020 6465 6620 7230 6320 [up0]. def r0c │ │ │ │ -00015f70: 2872 3029 2074 6865 6e20 7363 616c 6528 (r0) then scale( │ │ │ │ -00015f80: 5b4a 5d29 0a20 2064 6566 2072 3074 2028 [J]). def r0t ( │ │ │ │ -00015f90: 7230 2920 2b20 5b67 6170 5d0a 2020 6465 r0) + [gap]. de │ │ │ │ -00015fa0: 6620 7230 6220 2828 7030 2920 7468 656e f r0b ((p0) then │ │ │ │ -00015fb0: 205b 5b73 6567 5f72 6f74 5d5d 5e2d 3229 [[seg_rot]]^-2) │ │ │ │ -00015fc0: 202b 205b 6761 705d 0a20 206c 696e 655b + [gap]. line[ │ │ │ │ -00015fd0: 6172 726f 7773 3d3c 2d3e 5d28 7230 6329 arrows=<->](r0c) │ │ │ │ -00015fe0: 2872 3029 0a20 206c 696e 6528 7230 6229 (r0). line(r0b) │ │ │ │ -00015ff0: 2872 3074 290a 2020 6465 6620 7230 6d20 (r0t). def r0m │ │ │ │ -00016000: 2828 7230 2920 2d20 284f 2920 2b20 2872 ((r0) - (O) + (r │ │ │ │ -00016010: 3063 2920 2d20 284f 2929 202f 2032 202b 0c) - (O)) / 2 + │ │ │ │ -00016020: 2028 4f29 0a20 2073 7065 6369 616c 207c (O). special | │ │ │ │ -00016030: 5c66 6f6f 746e 6f74 6573 697a 655c 7270 \footnotesize\rp │ │ │ │ -00016040: 7574 2a23 317b 2472 5f30 247d 7c28 7230 ut*#1{$r_0$}|(r0 │ │ │ │ -00016050: 6d29 0a0a 2020 2054 6865 2073 6563 6f6e m).. 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Th │ │ │ │ +00015590: 6520 7365 6372 6574 2069 7320 6472 6177 e secret is draw │ │ │ │ +000155a0: 2074 6865 2061 7865 7320 7477 6963 652d the axes twice- │ │ │ │ +000155b0: 2d73 6f6c 6964 0a6c 696e 6573 2077 6974 -solid.lines wit │ │ │ │ +000155c0: 6820 7468 6520 6e6f 726d 616c 2068 6964 h the normal hid │ │ │ │ +000155d0: 6465 6e20 7375 7266 6163 6520 616c 676f den surface algo │ │ │ │ +000155e0: 7269 7468 6d20 696e 2065 6666 6563 742c rithm in effect, │ │ │ │ +000155f0: 2061 6e64 2074 6865 6e0a 646f 7474 6564 and then.dotted │ │ │ │ +00015600: 2077 6974 6820 7468 6520 6f70 7469 6f6e with the option │ │ │ │ +00015610: 20e2 8098 6c61 793d 6f76 6572 e280 9920 ...lay=over... │ │ │ │ +00015620: 736f 2074 6861 7420 6e6f 2070 6f6c 7967 so that no polyg │ │ │ │ +00015630: 6f6e 7320 6361 6e20 6869 6465 2074 6865 ons can hide the │ │ │ │ +00015640: 6d2e 0a20 2064 6566 2061 7820 2864 782c m.. def ax (dx, │ │ │ │ +00015650: 302c 3029 2025 2074 6970 7320 6f66 2074 0,0) % tips of t │ │ │ │ +00015660: 6865 2061 7865 730a 2020 6465 6620 6179 he axes. def ay │ │ │ │ +00015670: 2028 302c 6479 2c30 290a 2020 6465 6620 (0,dy,0). def │ │ │ │ +00015680: 617a 2028 302c 302c 647a 290a 2020 6c69 az (0,0,dz). li │ │ │ │ +00015690: 6e65 5b61 7272 6f77 733d 3c2d 3e2c 6c69 ne[arrows=<->,li │ │ │ │ +000156a0: 6e65 7769 6474 683d 2e34 7074 5d28 6178 newidth=.4pt](ax │ │ │ │ +000156b0: 2928 4f29 2861 7929 0a20 206c 696e 655b )(O)(ay). line[ │ │ │ │ +000156c0: 6172 726f 7773 3d2d 3e2c 6c69 6e65 7769 arrows=->,linewi │ │ │ │ +000156d0: 6474 683d 2e34 7074 5d28 4f29 2861 7a29 dth=.4pt](O)(az) │ │ │ │ +000156e0: 0a20 2025 2072 6570 6561 7420 646f 7474 . % repeat dott │ │ │ │ +000156f0: 6564 2061 7320 616e 206f 7665 726c 6179 ed as an overlay │ │ │ │ +00015700: 2074 6f20 6869 6e74 2061 7420 7468 6520 to hint at the │ │ │ │ +00015710: 6869 6464 656e 206c 696e 6573 0a20 206c hidden lines. l │ │ │ │ +00015720: 696e 655b 6c61 793d 6f76 6572 2c6c 696e ine[lay=over,lin │ │ │ │ +00015730: 6573 7479 6c65 3d64 6f74 7465 642c 6c69 estyle=dotted,li │ │ │ │ +00015740: 6e65 7769 6474 683d 2e34 7074 5d28 6178 newidth=.4pt](ax │ │ │ │ +00015750: 2928 4f29 2861 7929 0a20 206c 696e 655b )(O)(ay). line[ │ │ │ │ +00015760: 6c61 793d 6f76 6572 2c6c 696e 6573 7479 lay=over,linesty │ │ │ │ +00015770: 6c65 3d64 6f74 7465 642c 6c69 6e65 7769 le=dotted,linewi │ │ │ │ +00015780: 6474 683d 2e34 7074 5d28 4f29 2861 7a29 dth=.4pt](O)(az) │ │ │ │ +00015790: 0a20 2073 7065 6369 616c 7c5c 666f 6f74 . special|\foot │ │ │ │ +000157a0: 6e6f 7465 7369 7a65 0a20 2020 2020 2020 notesize. │ │ │ │ +000157b0: 2020 205c 7570 7574 5b64 5d23 317b 2478 \uput[d]#1{$x │ │ │ │ +000157c0: 247d 5c75 7075 745b 755d 2332 7b24 7924 $}\uput[u]#2{$y$ │ │ │ │ +000157d0: 7d5c 7570 7574 5b6c 5d23 337b 247a 247d }\uput[l]#3{$z$} │ │ │ │ +000157e0: 7c0a 2020 2020 2861 7829 2861 7929 2861 |. (ax)(ay)(a │ │ │ │ +000157f0: 7a29 0a54 6865 206c 6162 656c 7320 6172 z).The labels ar │ │ │ │ +00015800: 6520 6170 706c 6965 6420 7769 7468 20e2 e applied with . │ │ │ │ +00015810: 8098 5053 5472 6963 6b73 e280 9920 7370 ..PSTricks... sp │ │ │ │ +00015820: 6563 6961 6c20 6f62 6a65 6374 7320 6173 ecial objects as │ │ │ │ +00015830: 2075 7375 616c 2e0a 0a20 2020 466f 7220 usual... For │ │ │ │ +00015840: 7468 6520 6865 6967 6874 2064 696d 656e the height dimen │ │ │ │ +00015850: 7369 6f6e 206d 6172 6b2c 2074 6865 2070 sion mark, the p │ │ │ │ +00015860: 6f77 6572 206f 6620 6166 6669 6e65 2061 ower of affine a │ │ │ │ +00015870: 7269 7468 6574 6963 2069 7320 7665 7279 rithetic is very │ │ │ │ +00015880: 0a68 656c 7066 756c 2e0a 2020 6465 6620 .helpful.. def │ │ │ │ +00015890: 6864 696d 5f72 6566 2075 6e69 7428 2870 hdim_ref unit((p │ │ │ │ +000158a0: 3129 202d 2028 4f29 2920 7468 656e 205b 1) - (O)) then [ │ │ │ │ +000158b0: 5b73 6567 5f72 6f74 5d5d 5e32 0a20 2064 [seg_rot]]^2. d │ │ │ │ +000158c0: 6566 2063 3020 2870 3029 2074 6865 6e20 ef c0 (p0) then │ │ │ │ +000158d0: 7363 616c 6528 5b4a 5d29 0a20 2064 6566 scale([J]). def │ │ │ │ +000158e0: 2068 3030 2028 6330 2920 2b20 312e 3120 h00 (c0) + 1.1 │ │ │ │ +000158f0: 2a20 5b68 6469 6d5f 7265 665d 0a20 2064 * [hdim_ref]. d │ │ │ │ +00015900: 6566 2068 3031 2028 6330 2920 2b20 312e ef h01 (c0) + 1. │ │ │ │ +00015910: 3920 2a20 5b68 6469 6d5f 7265 665d 0a20 9 * [hdim_ref]. │ │ │ │ +00015920: 2064 6566 2068 3032 2028 6330 2920 2b20 def h02 (c0) + │ │ │ │ +00015930: 312e 3820 2a20 5b68 6469 6d5f 7265 665d 1.8 * [hdim_ref] │ │ │ │ +00015940: 0a20 206c 696e 6528 6830 3029 2868 3031 . line(h00)(h01 │ │ │ │ +00015950: 290a 2020 6465 6620 6831 3020 284f 2920 ). def h10 (O) │ │ │ │ +00015960: 2b20 312e 3620 2a20 5b68 6469 6d5f 7265 + 1.6 * [hdim_re │ │ │ │ +00015970: 665d 0a20 2064 6566 2068 3131 2028 4f29 f]. def h11 (O) │ │ │ │ +00015980: 202b 2031 2e39 202a 205b 6864 696d 5f72 + 1.9 * [hdim_r │ │ │ │ +00015990: 6566 5d0a 2020 6465 6620 6831 3220 284f ef]. def h12 (O │ │ │ │ +000159a0: 2920 2b20 312e 3820 2a20 5b68 6469 6d5f ) + 1.8 * [hdim_ │ │ │ │ +000159b0: 7265 665d 0a20 206c 696e 6528 6831 3029 ref]. line(h10) │ │ │ │ +000159c0: 2868 3131 290a 2020 6c69 6e65 5b61 7272 (h11). line[arr │ │ │ │ +000159d0: 6f77 733d 3c2d 3e5d 2868 3032 2928 6831 ows=<->](h02)(h1 │ │ │ │ +000159e0: 3229 0a20 2064 6566 2068 6d32 2028 2868 2). def hm2 ((h │ │ │ │ +000159f0: 3032 2920 2d20 284f 2920 2b20 2868 3132 02) - (O) + (h12 │ │ │ │ +00015a00: 2920 2d20 284f 2929 202f 2032 202b 2028 ) - (O)) / 2 + ( │ │ │ │ +00015a10: 4f29 0a20 2073 7065 6369 616c 7c5c 666f O). special|\fo │ │ │ │ +00015a20: 6f74 6e6f 7465 7369 7a65 5c72 7075 742a otnotesize\rput* │ │ │ │ +00015a30: 2331 7b24 6824 7d7c 2868 6d32 290a 2020 #1{$h$}|(hm2). │ │ │ │ +00015a40: 2054 6865 2067 656e 6572 616c 2069 6465 The general ide │ │ │ │ +00015a50: 6120 656d 706c 6f79 6564 2068 6572 6520 a employed here │ │ │ │ +00015a60: 6973 2074 6f20 636f 6d70 7574 6520 6120 is to compute a │ │ │ │ +00015a70: 756e 6974 2022 7265 6665 7265 6e63 650a unit "reference. │ │ │ │ +00015a80: 7665 6374 6f72 2220 7061 7261 6c6c 656c vector" parallel │ │ │ │ +00015a90: 2074 6f20 7468 6520 787a 2d70 6c61 6e65 to the xz-plane │ │ │ │ +00015aa0: 2069 6e20 7468 6520 6465 7369 7265 6420 in the desired │ │ │ │ +00015ab0: 6469 7265 6374 696f 6e20 6f66 2074 6865 direction of the │ │ │ │ +00015ac0: 0a64 696d 656e 7369 6f6e 2066 726f 6d20 .dimension from │ │ │ │ +00015ad0: 7468 6520 6f72 6967 696e 2e20 2054 6865 the origin. The │ │ │ │ +00015ae0: 2074 7261 6e73 666f 726d 6174 696f 6e20 transformation │ │ │ │ +00015af0: e280 985b 5b73 6567 5f72 6f74 5d5d 5e32 ...[[seg_rot]]^2 │ │ │ │ +00015b00: e280 9920 726f 7461 7465 730a 7477 6f20 ... rotates.two │ │ │ │ +00015b10: 7365 676d 656e 7473 2061 626f 7574 2074 segments about t │ │ │ │ +00015b20: 6865 2079 2d61 7869 732e 2020 5768 656e he y-axis. When │ │ │ │ +00015b30: 2061 7070 6c69 6564 2074 6f20 e280 9828 applied to ...( │ │ │ │ +00015b40: 7031 2920 2d20 284f 29e2 8099 2c20 7468 p1) - (O)..., th │ │ │ │ +00015b50: 650a 7265 7375 6c74 696e 6720 7665 6374 e.resulting vect │ │ │ │ +00015b60: 6f72 2070 6f69 6e74 7320 746f 2074 6865 or points to the │ │ │ │ +00015b70: 2072 6967 6874 2061 7320 7368 6f77 6e2e right as shown. │ │ │ │ +00015b80: 2020 496e 2074 6869 7320 6d61 6e6e 6572 In this manner │ │ │ │ +00015b90: 2c20 7765 2063 616e 0a70 6963 6b20 616e , we can.pick an │ │ │ │ +00015ba0: 7920 7665 7274 6578 2061 7320 7468 6520 y vertex as the │ │ │ │ +00015bb0: 6c6f 6361 7469 6f6e 206f 6620 7468 6520 location of the │ │ │ │ +00015bc0: 6865 6967 6874 2064 696d 656e 7369 6f6e height dimension │ │ │ │ +00015bd0: 206c 696e 6573 2062 7920 7661 7279 696e lines by varyin │ │ │ │ +00015be0: 670a 7468 6520 6578 706f 6e65 6e74 206f g.the exponent o │ │ │ │ +00015bf0: 6620 e280 985b 5b73 6567 5f72 6f74 5d5d f ...[[seg_rot]] │ │ │ │ +00015c00: e280 992e 2020 5468 6973 2069 7320 6f6e .... This is on │ │ │ │ +00015c10: 6c79 206f 6e65 206f 6620 6d61 6e79 2070 ly one of many p │ │ │ │ +00015c20: 6f73 7369 626c 650a 7374 7261 7465 6769 ossible.strategi │ │ │ │ +00015c30: 6573 2e0a 0a20 2020 5468 6520 636f 6d70 es... The comp │ │ │ │ +00015c40: 7574 6174 696f 6e20 6f66 20e2 8098 686d utation of ...hm │ │ │ │ +00015c50: 32e2 8099 2069 7320 6120 7573 6566 756c 2... is a useful │ │ │ │ +00015c60: 2069 6469 6f6d 2066 6f72 2066 696e 6469 idiom for findi │ │ │ │ +00015c70: 6e67 2074 6865 2063 656e 7472 6f69 640a ng the centroid. │ │ │ │ +00015c80: 6f66 2061 2073 6574 206f 6620 706f 696e of a set of poin │ │ │ │ +00015c90: 7473 2e0a 0a20 2020 5468 6520 7477 6f20 ts... The two │ │ │ │ +00015ca0: 7261 6469 7573 206d 6172 6b73 2061 7265 radius marks are │ │ │ │ +00015cb0: 2064 6f6e 6520 7369 6d69 6c61 726c 792c done similarly, │ │ │ │ +00015cc0: 2073 6f20 7765 2070 7265 7365 6e74 2074 so we present t │ │ │ │ +00015cd0: 6865 2063 6f64 650a 7769 7468 6f75 7420 he code.without │ │ │ │ +00015ce0: 636f 6d6d 656e 742e 0a20 2025 2072 6164 comment.. % rad │ │ │ │ +00015cf0: 6975 7320 6d65 6173 7572 656d 656e 7420 ius measurement │ │ │ │ +00015d00: 6d61 726b 730a 2020 6465 6620 6761 7020 marks. def gap │ │ │ │ +00015d10: 5b30 2c2e 322c 305d 2020 2520 7573 6564 [0,.2,0] % used │ │ │ │ +00015d20: 2074 6f20 6372 6561 7465 2073 6d61 6c6c to create small │ │ │ │ +00015d30: 2076 6572 7469 6361 6c20 6761 7073 0a0a vertical gaps.. │ │ │ │ +00015d40: 2020 2520 6669 7273 7420 7231 0a20 2064 % first r1. d │ │ │ │ +00015d50: 6566 2075 7031 205b 302c 332e 312c 305d ef up1 [0,3.1,0] │ │ │ │ +00015d60: 2025 2074 6963 6b20 7269 7365 7320 6162 % tick rises ab │ │ │ │ +00015d70: 6f76 6520 6469 6d65 6e73 696f 6e20 6120 ove dimension a │ │ │ │ +00015d80: 6c69 7474 6c65 0a20 2064 6566 2072 3120 little. def r1 │ │ │ │ +00015d90: 2828 7031 2920 7468 656e 205b 5b73 6567 ((p1) then [[seg │ │ │ │ +00015da0: 5f72 6f74 5d5d 5e2d 3229 202b 205b 7570 _rot]]^-2) + [up │ │ │ │ +00015db0: 315d 0a20 2064 6566 2072 3163 2028 7231 1]. def r1c (r1 │ │ │ │ +00015dc0: 2920 7468 656e 2073 6361 6c65 285b 4a5d ) then scale([J] │ │ │ │ +00015dd0: 290a 2020 6465 6620 7231 7420 2872 3129 ). def r1t (r1) │ │ │ │ +00015de0: 202b 205b 6761 705d 0a20 2064 6566 2072 + [gap]. def r │ │ │ │ +00015df0: 3162 2028 2872 3174 2920 7468 656e 2073 1b ((r1t) then s │ │ │ │ +00015e00: 6361 6c65 285b 312c 302c 315d 2929 202b cale([1,0,1])) + │ │ │ │ +00015e10: 205b 6761 705d 0a20 206c 696e 655b 6172 [gap]. line[ar │ │ │ │ +00015e20: 726f 7773 3d3c 2d3e 5d28 7231 6329 2872 rows=<->](r1c)(r │ │ │ │ +00015e30: 3129 2020 2520 6469 6d65 6e73 696f 6e20 1) % dimension │ │ │ │ +00015e40: 6c69 6e65 0a20 206c 696e 6528 7231 6229 line. line(r1b) │ │ │ │ +00015e50: 2872 3174 2920 2020 2020 2020 2020 2020 (r1t) │ │ │ │ +00015e60: 2020 2520 7469 636b 0a20 2064 6566 2072 % tick. def r │ │ │ │ +00015e70: 316d 2028 2872 3129 202d 2028 4f29 202b 1m ((r1) - (O) + │ │ │ │ +00015e80: 2028 7231 6329 202d 2028 4f29 2920 2f20 (r1c) - (O)) / │ │ │ │ +00015e90: 3220 2b20 284f 2920 2520 6c61 6265 6c20 2 + (O) % label │ │ │ │ +00015ea0: 706f 7369 7469 6f6e 0a20 2073 7065 6369 position. speci │ │ │ │ +00015eb0: 616c 207c 5c66 6f6f 746e 6f74 6573 697a al |\footnotesiz │ │ │ │ +00015ec0: 655c 7270 7574 2a23 317b 2472 5f31 247d e\rput*#1{$r_1$} │ │ │ │ +00015ed0: 7c28 7231 6d29 2020 2520 6c61 6265 6c0a |(r1m) % label. │ │ │ │ +00015ee0: 0a20 2025 2073 616d 6520 6472 696c 6c20 . % same drill │ │ │ │ +00015ef0: 666f 7220 7230 2c20 6275 7420 6d75 7374 for r0, but must │ │ │ │ +00015f00: 2070 726f 6a65 6374 2064 6f77 6e20 6669 project down fi │ │ │ │ +00015f10: 7273 740a 2020 6465 6620 7570 3020 5b30 rst. def up0 [0 │ │ │ │ +00015f20: 2c32 2e37 2c30 5d0a 2020 6465 6620 7230 ,2.7,0]. def r0 │ │ │ │ +00015f30: 2028 2870 3029 2074 6865 6e20 7363 616c ((p0) then scal │ │ │ │ +00015f40: 6528 5b31 2c30 2c31 5d29 2074 6865 6e20 e([1,0,1]) then │ │ │ │ +00015f50: 5b5b 7365 675f 726f 745d 5d5e 2d32 2920 [[seg_rot]]^-2) │ │ │ │ +00015f60: 2b20 5b75 7030 5d0a 2020 6465 6620 7230 + [up0]. def r0 │ │ │ │ +00015f70: 6320 2872 3029 2074 6865 6e20 7363 616c c (r0) then scal │ │ │ │ +00015f80: 6528 5b4a 5d29 0a20 2064 6566 2072 3074 e([J]). def r0t │ │ │ │ +00015f90: 2028 7230 2920 2b20 5b67 6170 5d0a 2020 (r0) + [gap]. │ │ │ │ +00015fa0: 6465 6620 7230 6220 2828 7030 2920 7468 def r0b ((p0) th │ │ │ │ +00015fb0: 656e 205b 5b73 6567 5f72 6f74 5d5d 5e2d en [[seg_rot]]^- │ │ │ │ +00015fc0: 3229 202b 205b 6761 705d 0a20 206c 696e 2) + [gap]. lin │ │ │ │ +00015fd0: 655b 6172 726f 7773 3d3c 2d3e 5d28 7230 e[arrows=<->](r0 │ │ │ │ +00015fe0: 6329 2872 3029 0a20 206c 696e 6528 7230 c)(r0). line(r0 │ │ │ │ +00015ff0: 6229 2872 3074 290a 2020 6465 6620 7230 b)(r0t). def r0 │ │ │ │ +00016000: 6d20 2828 7230 2920 2d20 284f 2920 2b20 m ((r0) - (O) + │ │ │ │ +00016010: 2872 3063 2920 2d20 284f 2929 202f 2032 (r0c) - (O)) / 2 │ │ │ │ +00016020: 202b 2028 4f29 0a20 2073 7065 6369 616c + (O). special │ │ │ │ +00016030: 207c 5c66 6f6f 746e 6f74 6573 697a 655c |\footnotesize\ │ │ │ │ +00016040: 7270 7574 2a23 317b 2472 5f30 247d 7c28 rput*#1{$r_0$}|( │ │ │ │ +00016050: 7230 6d29 0a0a 2020 2054 6865 2073 6563 r0m).. 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